2019年
的距离为( ) 11
A．4 B．5 C. D．6
2答案 D
解析 抛物线y＝2px(p>0)的准线为l′：x＝－，
2如图所示，当直线AB的倾斜角为锐角时，
2
p
分别过点A，B作AP⊥l′，BQ⊥l′，垂足为P，Q， 过点B作BD⊥AP交AP于点D， 则|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|， 3
∵|AF|＝3|BF|＝|AB|，
4∴|AP|－|BQ|＝|AD| 1
＝|AF|－|BF|＝|AB|，
21
在Rt△ABD中，由|AD|＝|AB|，
2可得∠BAD＝60°，
∵AP∥x轴，∴∠BAD＝∠AFx＝60°， ∴kAB＝tan 60°＝3， 直线l的方程为y＝3?x－?，
?2?设M点坐标为(xM，yM)，
?
p?y3?＝－?x－73，由?y?x＋7－p?，＝3?2??2??2?
MMMM
373?p?可得xM＝p－，yM＝?7－?，
2?422?代入抛物线的方程化简可得
3p－4p－84＝0，解得p＝6(负值舍去)， 该抛物线的焦点到准线的距离为6.
2
2019年
π
10．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率
4乘积的最小值为( ) 12
A. B. C．1 D.2 22答案 B
解析 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2， 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2， 半焦距为c，P为第一象限内的公共点，
??|PF1|＋|PF2|＝2a1，则???|PF1|－|PF2|＝2a2，
解得|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，
π222
所以4c＝(a1＋a2)＋(a1－a2)－2(a1＋a2)(a1－a2)·cos ，
4所以4c＝(2－2)a1＋(2＋2)a2， 2－22＋2
所以4＝2＋≥22
2－22＋222
×2＝， 2
2
2
2
e1e2e1e2e1e2
所以e1e2≥
2
，故选B. 2
x2y2
11．(2017·全国Ⅰ)设A，B是椭圆C：＋＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的
3m取值范围是( ) A．(0,1]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) 答案 A
解析 方法一 设椭圆焦点在x轴上， 则0 过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)． 故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN) 23|y| . 22 3＋x3－xx＋y－31－·|y||y| ＝3＋x3－x＋|y||y| B．(0，3]∪[9，＋∞) D．(0，3]∪[4，＋∞) ＝ 又tan∠AMB＝tan 120°＝－3， 2x2y23y2 且由＋＝1，可得x＝3－， 3mm 2019年 则23|y|23|y|＝＝－3. 23y3?22?3－＋y－3?1－?ym?m? 解得|y|＝ 2m. 3－m2m≤m， 3－m又0<|y|≤m，即0< 结合0 对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9. 则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 方法二 当0 当m>3时，焦点在y轴上， 要使C上存在点M满足∠AMB＝120°， 则≥tan 60°＝3，即 ab3 m≥3， abm3 ≥3，解得m≥9. 故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. x2y2 12．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点(异于右顶点)，△PF1F2 ab的内切圆与x轴切于点(2,0)．过F2作直线l与双曲线交于A，B两点，若使|AB|＝b的直线l恰有三条，则双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1，2) C．(2，＋∞) 答案 C 解析 |F1F2|＝2c(c＝a＋b)， 设△PF1F2的内切圆分别与PF1，F1F2，PF2切于点G，H，I， 则|PG|＝|PI|，|F1G|＝|F1H|，|F2H|＝|F2I|. 由双曲线的定义知 2a＝|PF1|－|PF2|＝|F1G|－|F2I|＝|F1H|－|F2H|， 又|F1H|＋|F2H|＝|F1F2|＝2c， 故|F1H|＝c＋a，|F2H|＝c－a， 所以H(a,0)，即a＝2. 2 2 2 2 B．(1,2) D．(2，＋∞) 2019年 注意到这样的事实： 若直线l与双曲线的右支交于A，B两点， 2b2 则当l⊥x轴时，|AB|有最小值＝b； 2 a若直线l与双曲线的两支各交于一点(A，B两点)， 则当l⊥y轴时，|AB|有最小值2a，于是， 由题意得b>2a＝4，b>2，c＝a＋b>22， 所以双曲线的离心率e＝>2.故选C. 2 2 2 ca?25? 13．(2018·三明质检)已知中心是坐标原点的椭圆C过点?1，?，且C的一个焦点坐标为(2,0)，则C的标准 5?? 方程为________． 答案 x2 5 ＋y＝1 2 解析 根据题意得椭圆的另一个焦点坐标是(－2,0)， 则2a＝＝ 42 ?1＋2?＋＋5 42 ?1－2?＋ 5 75＋35 ＝25， 5 所以a＝5，因为c＝2，所以b＝5－4＝1， 从而得到椭圆的标准方程为＋y＝1. 5 14．在平面直角坐标系xOy中，点M不与点O重合，称射线OM与圆x＋y＝1的交点N为点M的“中心投影点”． (1)点M(1，3)的“中心投影点”为________； (2)曲线x－＝1上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是________． 34π3??1 答案 (1)?，? (2) 3?22? 解析 (1)|OM|＝1＋?3?＝2，|ON|＝1， 3??1→1→ 所以ON＝OM，则N点坐标为?，?. 2?22? (2)双曲线x－＝1的渐近线方程为y＝±3x，由“中心投影点”的定义知，中心投影点是单位圆上夹在两渐 3π24π 近线之间的与x轴相交的两段圆弧，一条渐近线的倾斜角为，因此弧长为2×π×1＝. 333 2 2 2 2 2 2 x2 2 y2 y2 y2 15．已知点F1，F2分别是双曲线C：x－2＝1(b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且 b2 满足|F1F2|＝2|OP|，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的半焦距的取值范围为____________．