蝴蝶定理巧解小学竞赛中的图形问题

特级教师 吴乃华

梯形的两条对角线，把梯形分割为“上”、“下”、“左”、“右”四个部分，这四个三角形的面积以及相应边长的比例关系，都是由梯形上、下底的长短或者比例关系所决定的。由于这四个部分形状有点像蝴蝶，揭示梯形上、下底与“上”、“下”、“左”、“右”四个部分的关系，以及这四个部分相互之间规律的理论，就叫做“梯形蝴蝶定理”。它的奇妙之处在于，运用这种理论解答图形问题，轻松便捷，化难为易。下面以几道小学竞赛题的解答，就定理的部分内容作浅显的解读，敬请校正。

一、紧盯翅膀求答案

梯形的左右两个三角形，就像蝴蝶的一对翅膀，它们的面积是相等的，这是因为它们分属于同底同高的两个三角形，并且共有一个“上”（或者“下” ）三角形。简记为：“左＝右”。在有关梯形的图形里，关注这一部分的情况，有时能得到答案，有时为解答提供思路。

例1、如图的梯形ABCD中，三角形ABP的面积为20平方厘米，三角形CDQ的面积为35平方厘米，求四边形MPNQ的面积。

解：连接MN，这样把梯形ABCD分成ABNM和MNCD两个小梯形。 由“左＝右”知道：S△MNQ＝S△CDQ＝35； S△MNP＝S△ABP＝20。 所以，四边形MPNQ的面积是：20＋35＝55（平方厘米）。

例2、如图所示, 四边形ABCD与四边形CPMN都是平行四边形, 若三角形DFP 与三角形AEF 的面积分别是22 和36, 则三角形BNE 的面积是多少？（第十六届华罗庚金杯赛少年数学邀请赛小学组决赛试题)

解：连接AM。 把四边形CPMN以外的部分，分成了AMND和ABGM两个梯形。

由“左＝右”知道：S△AFM＝22； S△AEM＝36－22＝14。 所以，三角形BNE 的面积是14。

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二、上底下底藏玄机

梯形上、下底的长度，决定了对角线交叉所成的角度。上、下底的比，决定了对角线上、下段的比，也决定了这些线段所围成的三角形面积的比。所以相应边长的比，等于边长所在的三角形面积的比，反之，三角形面积的比，等于三角形相应边长的比。简记为：AO∶OC＝上∶左＝右∶下。

例3、梯形ABCD的上底AD长3厘米，下底BC长9厘米，两对角线相交于O。已知三角形ABO的面积为12平方厘米，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（1999年小学数学奥林匹克决赛试题）

解：因为AD∶BC＝3∶9＝AO∶CO＝EO∶OF＝DO∶BO＝1∶3；

所以，S△AOD∶S△AOB＝S△DOC∶S△BOC＝1∶3。 已知三角形ABO的面积为12平方厘米，知

S△AOD＝ 12÷3＝4（平方厘米）； S△BOC＝12×3＝36（平方厘米）。

所以，梯形ABCD的面积为：4＋12×2＋36＝64（平方厘米）。

例4、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O。已知AB＝5，CD＝3，梯形ABCD的面积为4，求三角形ABO的面积。（第十四届“华杯赛”小学组决赛A卷试题）

解：已知CD∶AB＝3∶5，如果S△COD为3份， S△AOD为5份，S△BOC为5份，则S△AOB为

53?5＝

253份

253梯形ABCD共分了：3＋5＋5＋＝

25643份；

64三角形ABO的面积是梯形面积的

所以，三角形ABO的面积为：4×

三、细研定理多思路

32564÷

＝

32516＝

2564

。

（1）、梯形中，面积的比等于相应的边长平方的比，简记为：

上:下?a2:b2。

例5、如下图，在梯形ABCD中，三角形ABO和三角形CDO的面积分别是16和4，那么DC∶AB是几比几？（第十五届“华杯赛”小学组决赛B卷试题）

解：由三角形ABO和三角形OCD的面积分别是16和4，

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知：16＝4×4，4＝2×2。 根据“上:下?a2:b2”， 可知，DC∶AB＝2∶4＝1∶2。

（2）、由“上∶左＝右∶下”，根据比例的基本性质，推知“上×下＝左×右”。

例6、如图，BD、CF将长方形ABCD分成四块。红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?（第五届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试题）

解：连接B、F两点．根据“上×下＝左×右”， 知，S△BCE＝6×6÷4＝9（平方厘米）。 对角线BD把长方形ABCD分成相等的两半， 可知，S△ABD＝S△BCD＝6＋9＝15（平方厘米）。 所以，四边形ABEF的面积为：15－4＝11（平方厘米）。

例7、如图，ABCD是个梯形，已知三角形ABD的面积是12 cm2，三角形AOD的面积比三角形BOC的面积少12 cm2。那么，梯形ABCD的面积是多少cm2？

解：设三角形AOD的面积为x. 依题中条件

S△AOB＝12－x；S△BOC＝12＋x。 根据“上×下＝左×右”，得方程：

x×（x＋12）＝（x－12）×（x－12） 解得 x＝4。

所以，梯形ABCD的面积是：4＋16＋8＋8＝36（cm2）。

例8、在右图的梯形ABCD中，三角形AOD面积是27 平方厘米，三角形COD的面积是45平方厘米，三角形BCE的面积是55平方厘米。那么，阴影部分面积是多少平方厘米？

解：根据“上×下＝左×右”， 可知， S△BOC＝45×45÷27＝75（平方厘米）。 而S△BCE＝55 cm2，

所以S△EOC＝75－55＝20（平方厘米）。 根据高相同，面积的比等于底边的比，知， EO长是BO长的 20÷75＝

415，

415所以，阴影部分的面积是：（45＋75）×

＝32（平方厘米）。

（3）、一条对角线上段与下段的比＝上、右两个三角形的面积和与左、下两个三角形面

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积和的比。简记为：AO∶OC＝（上＋右）∶（左＋下）。

例9、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，若S△AOD∶S△ACD＝1∶3，若S△AOD＝1.8平方厘米，则梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

解：由S△AOD∶S△ACD＝1∶3， 知，S△ACD＝1.8×3＝5.4（平方厘米）。 S△AOD∶S△DOC＝1∶（3－1）＝1∶2， 设S△ABC为x平方厘米。

1∶2＝5.4∶x 解得 x＝10.8。

所以，梯形ABCD的面积是：5.4＋10.8＝16.2（平方厘米）。

四、综合思考少难题

所谓综合思考，就是善于根据梯形中各部分的面积与相应的边长的比例关系，综合运用，不以一种关系的运用而满足。

例10、E是矩形ABCD的边BC的中点，BD与AE的交点为F，那么，右图中阴影部分（三角形FAB）与矩形ABCD的面积之比是多少？（1997年小学数学奥林匹克总决赛题）

解：设矩形ABCD的面积为1. 连接DE.

由E是BC边的中点，知S△CDE是矩形面积的×＝，

224111梯形ABED的面积为 1－＝。

4413由梯形上、下底长度的比是1∶2，可知，上、下、左、右四个

2三角形面积所占的份数的和为 （1+2）＝9份，S△ABF占梯形面积的。

2图中阴影部分（三角形FAB）是矩形ABCD的面积的：×＝，即1∶6。

4963291

例11、如右图 ABCD为平行四边形，AE＝2ED，若三角形CEF的面积为1，那么平行四边形ABCD的面积是多少？（第十六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛深圳赛题）

解：因为AE＝2ED，

知S△CDE是平行四边形面积的×＝，

2111则梯形面积是平行四边形面积的 1－＝。

663165由AE＝2ED，知AE∶BC＝2∶3。则“上”的面积为2份，“左”为3份，“右”为3份，

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“下”为3÷2×3＝4.5份，则梯形面积共分为：2＋3＋3＋4.5＝12.5份。

三角形CEF的面积是梯形ABCE面积的 3÷12.5＝6。

25已知三角形CEF的面积为1，则梯形面积为 1÷6＝25。

256所以，平行四边形ABCD的面积是：6÷5＝5。

256

例12、下图中，ABCD是平行四边形，E在AB边上，F在CD边上，G为AF与DE的交点，H为CE与BF的交点。已知平行四边形的面积是1，AE∶EB＝1∶4，三角形BHC的面积为，求三角形ADG

81的面积。（2012年第十七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛C卷试题）

解：已知平行四边形ABCD的面积是1，根据面积一

定，底和高成反比例，所以底和高的长度，凡是积为1的两个数都成。为了省事，我们设平行四边形ABCD的底和高都为1。

连接EF，把平行四边形分成AEFD和EBCF两个梯形。 在梯形EBCF中，S△BEF＝×

2141+4×1＝，

52S△BEH＝－＝

52181140；

设CF长为x。根据梯形中三角形面积的比，等于三角形相应边长的比， 得比例式

1140∶＝

84141+4∶x 解得 x＝

711411.

则DF是CD的1－

11＝。

1在梯形AEFD中，S△AED＝S△AEF＝×

211+4×1＝

110。

DF∶AE＝DG∶GE＝

711∶

11+4＝

35所以，三角形ADG的面积是：

111。

351110÷（1＋）×

3511＝

792。

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