初中数学核心概念、思想方法 及其教学设计的理论与实践

——“平方差公式”教学设计与教学反思

徐艳芳（湖北省襄阳市第33中学）

教学设计

一、内容和内容解析

内容 平方差公式的探索及其应用

内容解析 本节课是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》第十五章“整式的乘除与因式分解”的第二节“乘法公式”中的“平方差公式”。平方差公式的推导和公式在整式乘法中的应用。它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的，其地位和作用主要体现在3个方面：1、整式是初中代数研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的；一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。2、乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养严密的逻辑推理能力的功能。3、公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好的模式。 二、目标和目标解析

? 知识与技能

经历探索平方差公式的过程．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.

? 过程与方法

在探索平方差公式的过程中，培养学生符号感和推理能力；培养学生观察、归纳、概括的能力.

培养学生的问题解决能力，为学生提供运用平方差公式来研究等周问题的探究空间。 ? 情感态度价值观

在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。体会数学源于实际，高于实际，运用于实际的科

学价值与文化价值。

学习目标描述：会推导平方差公式，通过折纸活动理解平方差公式的几何意义，能运用公式进行简单的运算，在学习过程中运用数学思想方法，对比提示公式特征，体会由一般到特殊的过程。

三、教学重难点分析

平方差公式的推导和应用．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

突出重点的方法是每组题后反思总结，由学生归纳出平方差公式的结构特征，并利用公式进行计算。 突破难点的方法是小组合作动手实践，得到公式。

四、教学过程设计

1、教学流程设计

实际问题（创设激趣）→ 复习回顾（做数学）→观察思考（发现特征）→抽象概括（引导概括）→几何模式（数形结合）→公式运用（应用新知）→例题讲解→小明的秘密（呼应开头）→随堂练习（巩固新知）→思维拓展→小结与作业（看谁最高） 2、教学过程设计

一、创设情境，激发兴趣

小明到超市去买水果，一斤苹果需要9.8元，他选了一袋10.2斤，到了收费处，收款的阿姨刚打价完时，小明就说出价钱为99.96元，说正好100元（超市现在都没有分分钱流通了）。你觉得他算的对吗？你能那么快地算出来吗？你知道他用的什么方法算的吗？

（设计意图: 通过生活问题引出数学问题，体现数学来源于生活，同时也设下疑问，使学生能热情而迅速地投入到对数学问

题的探究中。）

二、复习回顾，温故知新

复习多项式乘法运算并计算下式： （m+n）(m-n) (m+2)(m-2) (m+a)（m-a）

学生独立完成,同桌互查

（设计意图:通过复习旧知识得出新知识，观察出公式的特点，由特殊到一般，学生易于理解和接受，保证了学生理解的逐步

深入。同时通过简单的数字变化来体现特点，使学生能很好地理解字母代表的数的意义。） 三、导入新课 1、观察思考，发现特征 计算下列多项式的积 1）（x+1）（x-1） （2）（m+2）（m-2） (3）（2x+1）（2x-1） (4）（x+5y）（x-5y）

讨论算式及结果的规律，然后再举几个类似的例子验证所发现的规律。

（设计意图:平方差公式的得出可以利用多项式乘以多项式的运算法则，是从一般到特殊的过程，对今后学习其他的乘法公式

有一定的指导意义，也可培养学生观察、归纳、推理的能力，首先让学生思考，你能发现什么？让学生经历观察、比较、归纳、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明。） 2、验证概括 1）计算 （a+b）（a-b）

2）概括平方差公式及其结构特征

3）得出公式形式并强调其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

(设计意图: 对前面的运算的讨论让学生自己通过观察、归纳发现特征，为运用公式进行计算打下基础。此环节是最重要的一

环，正确得出平方差公式的特点和理解公式的形式对后面灵活运用公式进行简单的计算很重要，要通过学生自己的探索发现来让他们清楚地认识到公式的形式特征，尤其是其中符号的变化。通过探究公式形成整体思想。) 3、几何模型

利用一张长为（a+b）宽为(a-b)的 长方形通过折纸方式变为一张边长为a的正方形和两张长为b宽为

（a-b）的长方形，再拼起来，由于两个图形是由同一张纸片折成，面积相同，得出等式。

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（a+b）（a-b）=a –b

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(设计意图:通过几何图形的变化，知道了平方差公式的几何内容（a+b）（a-b）=a –b 的几何意义，

一方面加强了学生对公式的理解，突出了公式的直观性。另一方面也体现出了数学中代数公式与几何图形之间的联系，使同学

们在学习数学时能够合理运用数形结合的思想方法。这种折纸简单明了，又容易引起学生的学习兴趣，使他们能够感受学习数学的快乐，并能很快获得成功。) 4、应用新知

问题：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？

(2a?3b)(2a?3b)

(?2a?3b)(2a?3b)(?2a?3b)(?2a?3b)

(2a?3b)(2a?3b)

(?2a?3b)(2a?3b)

(?2a?3b)(?2a?3b)

（设计意图:通过对一些式子的判断使学生加深理解平方差公式的特点，并明确其中的字母A、B所代表的是什么，平方差公式

中的符号规律又是什么，从而为利用公式进行计算打好基础。） 5、例题讲解 例1：计算 (1)（3x+2）（3x-2） (2)（b+2a）（2a-b） (3) (-x+2y)(-x-2y)

（设计意图:通过师生共析加深学生对平方差公式的理解，而学生仿照教师的板书完成部分例题，可使学生更深一层理解公式

的运用方法和习题的规范书写格式，并使学生能够形成独立分析和解决问题的能力。） 6、反馈生活，解决问题。

观察他所用的方法：9.8×10.2=(10-0.2)×(10+0.2)

（设计意图:设疑然后解决使所学知识得到充分使用,学会了把实际问题转化为数学问题,用数学来解决生活中的问题.让他们

感觉到数学的作用,从而对学习数学更有兴趣.同时又从字母到数字，再次体会字母代数的意义。） 7、随堂练习，巩固知识

用平方差公式计算(1)(a+b)( -b+ a) (2)(-a-b)(a-b) (3)(3a+2b)(3a-2b)

（设计意图:正确理解公式中字母的广泛含义是正确运用公式的关键，通过练习加深学生对公式特征的理解，明确字母的意义，

放手让学生讨论合作思考可使学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养，引导学生多角度思考问题。） 8、综合应用 例2：（1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

（设计意图:到此学生的知识已经形成,可以让学生自己动手解决问题,这样才体现出学生的主动学习的作用,能有效地使所学

知识内化,加强巩固基础知识,加深对平方差公式的理解.） 9、思维拓展，锻炼思维 1）尝试计算

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(1)(a-b)(a+b)

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(2)(a-b)(a+b)(a+b)

2）小组合作，自己出题，互相考查，看哪个小组的题目出的好，同学们做的正确率高。

（设计意图:第（1）个其实还是考查了公式中字母的意义，理解公式的结构特征就很容易解决，此题综合考查了同底数幂乘方

知识。第（2）个则是连续两次使用公式，更能体现学生对公式的熟练程度。学生参与出题是对学生综合能力的考查，对公式的熟练程度及小组合作能力均对出题结果有影响，有效激发学生竞争意识和学习积极性。） 四、小结反思，知识升华

教师提问：本节课你有什么收获？你掌握了哪些书本知识，学到了什么数学思想方法，理解了什么？你在与同伴的交流合作中学到了什么？你还有什么困惑？

（设计意图:巩固所学知识，将对平方差公式的结构认识延续到课下。让学生发现自己的能力并建立信心，培养自主学习的能力。）

五、分层作业，提升能力 回答问题，完成作业 习题15.2第1题

22222222

课外思考题：计100-99+98-97+96-95+??+2-1

（设计意图:思维拓展题逆用平方差公式，对学生的逆向思维进行锻炼，同时也为后面学习因式分解打下基础。分层作业又能

使不同的学生在数学学习中有不同的收获。）

【板书设计】（分两栏）

§15．2．1 平方差公式

一．探究、归纳规律──平方差公式 练习：（学生板演） 文字语言： 符号语言：

二．用简便方法计算

教学反思

形成性评价：大部分同学都能通过探索小结出平方差公式的特点，但在具体的问题中，还是有些同学会“判断失误”，问题的关键在于没有抓住平方差公式的本质．在完成练习后我们再应该小结一下平方差公式应用的前提．

《新课程标准》中明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人，教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极自主探索、合作交流与实践创新。”在教学设计时，以新课程标准理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用。自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生的有效学习。

要使学生主动参与学习，必须使学生对学习有兴趣。兴趣是一个人前进的动力，是永不枯竭的动力源泉。正是因为这样，很多教育家都很重视对学生学习兴趣的培养。

本节课，利用生活中的事例、比喻与数学知识联系，学生兴趣很浓。 在教学活动的组织中始终注意：（1）以问题为活动的核心，在组织活动前，结合学习内容和学生实际，更好地使用教科书，创设问题情境。（2）促进学生发展是活动的目的，数学教育要以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，这是义务教育阶段数学课程的基本理念和基本出发点。因此，本节课组织活动的目的，不是为了单纯地传授知识，而是注意让学生在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促进学生代数推理能力、表达能力、与人合作意识、数学思想方法等各方面的进一步发展。