∵∠DBC＝90°，∠DCB＝60°， ∴∠CDB＝30°， ∴∠EOB＝60°， ∵EO＝EB，

∴△EOB是等边三角形，BE＝OB＝∵∠ECB＝60°，

∴点C的运动轨迹是圆弧，不妨设圆心为P，连接PC，PE，PB，则∠EPB＝2∠ECB＝120°， 作PT⊥BE于T，在Rt△PET中，∠PET＝30°，ET＝BT＝BE＝

，

，

∴PE＝PB＝PC＝＝，

∵∠EBO＝60°，∠EBP＝30°， ∴∠ABP＝90°， 在Rt△ABP中，AP＝∵AC≤PA+PC， ∴AC≤13+

，

，此时A，P，C共线，如图③﹣1中，作CW⊥AB于W．

＝

＝13，

∴AC的最大值为13+

∵PB∥CW， ∴∴∴CW＝∴BC＝

＝＝

＝

，

＝

+1，BW＝2

＝

，

＝

，

）＝13

+

．

，

∴S△BCD＝?BC?BD＝?BC?

BC＝×（26+2

2．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°，

∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， ∴∠BAE+∠EAC＝60°， ∵AB∥CD，

∴∠BAC＝∠ACF＝60°，

∵∠EAF＝60°，即∠EAC+∠CAF＝60°， ∴∠BAE＝∠CAF， 在△AEB和△AFC中，

，

∴△AEB≌△AFC（ASA）， ∴AE＝AF，

∴△AEF为等边三角形；

（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，

∵△AEF为等边三角形， ∴AE＝EF＝∵∠ABH＝60°， ∴

，BH＝HC＝1，

，∠AEF＝60°，

∴EH＝|x﹣HC|＝|x﹣1|， ∴EF＝

∵∠AEF＝∠B＝60°，

∴∠CEG+∠AEB＝∠AEB+∠BAE＝120°， ∴∠CEG＝∠BAE， ∵∠B＝∠ACE＝60°， ∴△BAE∽△CEG， ∴

，

＝

，

∴，

∴y＝EG＝（0＜x＜2），

（3）解：∵AB＝2，△ABC是等边三角形， ∴AC＝2， ∴OA＝OC＝1， ∵EG＝EO， ∴∠EOG＝∠EGO，

∵∠EGO＝∠ECG+∠CEG＝60°+∠CEG， ∠CEA＝∠CEG+∠AEF＝60°+∠CEG，

∴∠EGO＝∠CEA， ∴∠EOG＝∠CEA， ∵∠ECA＝∠OCE， ∴△COE∽△CEA， ∴

，

∴CE2＝CO?CA， ∴x2＝1×2， ∴x＝即x＝

（x＝﹣．

舍去），

3．（1）证明：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCG＝∠DCE＝90°， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴∠CBG＝∠CDE， ∵∠CDE+∠DEC＝90°， ∴∠HBE+∠BEH＝90°， ∴∠BHE＝90°， ∴BH⊥DE；

（2）解：MH2+HN2＝2CM2，

理由：∵在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝CD，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°， ∴∠BCG＝∠DCE， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴∠CBG＝∠CDE，BG＝DE， ∵∠DPH＝∠CPM， ∴∠DHP＝∠BCP＝90°， ∴∠MHN＝90°，

∵M，N分别为BG，DE的中点， ∴BM＝BG，DN＝DE， ∴BM＝DN， ∵BC＝CD，

∴△BCM≌△DCN（SAS），