(1)真命题的判定方法：

真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．

(2)假命题的判定方法：

通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法． [活学活用]

下列命题中真命题有( )

①mx＋2x－1＝0是一元二次方程；②抛物线y＝ax＋2x－1与x轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何集合的真子集．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：选A ①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a＜0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集．

命题的结构形式 [例3] 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)6是12和18的公约数；

(2)当a＞－1时，方程ax＋2x－1＝0有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分；

(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2. [解] (1)若一个数是6，则它是12和18的公约数．是真命题． (2)若a＞－1，则方程ax＋2x－1＝0有两个不等实根．是假命题． (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分．是真命题． (4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假命题． [类题通法]

(1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件写在前面，结论写在后面．

(2)若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．

[活学活用]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除；

(2)当(a－1)＋(b－1)＝0时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形；

(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除．是真命题．

3

2

2

22

2

2

(2)若(a－1)＋(b－1)＝0，则a＝b＝1.是真命题．

(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形．是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行．是假命题．

22

1.命题条件不明致误

[典例] 将命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有a＞b”写成“若p，则q”的形式，并指出条件和结论．

[解] 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若a＞b，则a＞b. 其中条件p：a＞b，结论q：a＞b. [易错防范]

1．易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中．

2．任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．

[成功破障]

把命题“已知a，b为正数，当a＞b时，有log2a＞log2b”写成“若p，则q”的形式． 解：“若p，则q”的形式： 已知a，b为正数， 若a＞b，则log2a＞log2b.

2

2

222

2

[随堂即时演练]

1．下列命题中是真命题的是( ) A．若ab＝0，则a＋b＝0 B．若a＞b，则ac＞bc C．若M∩N＝M，则N?M D．若M?N，则M∩N＝M

解析：选D A项中，a＝0，b≠0时，a＋b＝0不成立；B项中，c≤0时不成立；C项中，M∩N＝M说明M?N.故选项A、B、C皆错误．

2．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中，真命题是( ) A．若a2b＝0，则a＝0或b＝0

4

2

2

2

2

B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a＝b，则a＝b或a＝－b D．若a2b＝a2c，则b＝c

解析：选B a2b＝0，在a，b为非零向量时可得a⊥b；a＝b可改写为|a|＝|b|，只能得出|a|＝|b|；a2b＝a2c，可移项得a⊥(b－c)，不可两边同除以向量．

3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是____________，结论是__________________．

答案：函数为y＝2x＋1 该函数是增函数 4．下列命题：

①若xy＝1，则x，y互为倒数； ②二次函数的图象与x轴有公共点； ③平行四边形是梯形； ④若ac＞bc，则a＞b.

其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

解析：对于②，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于③，平行四边形不是梯形． 答案：①④

5．已知命题p：x－2x－2≥1；命题q：0＜x＜4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．

解：由x－2x－2≥1，即x－2x－3≥0， 解得x≤－1或x≥3. 故命题p：x≤－1或x≥3.

又命题q：0＜x＜4，且命题p为真，命题q为假，

??x≤－1或x≥3，则?

?x≤0或x≥4，?

2

2

2

2

2

2

2

2

2

所以x≤－1或x≥4.

故满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．

[课时达标检测]

一、选择题

1．下列语句不是命题的有( )

①若a＞b，b＞c，则a＞c；②x＞2；③3＜4； ④函数y＝a(a＞0，且a≠1)在R上是增函数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．

5

x2．下列命题中真命题的个数为( ) ①面积相等的三角形是全等三角形； ②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0； ③若a＞b，则a＋c＞b＋c； ④矩形的对角线互相垂直． A．1 B．2 C．3 D．4

解析：选A ①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等，但不一定互相垂直．

3．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直

C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形

解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．

4．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )

A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b

C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交

解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，则a，b有可能异面．

5．给出命题“方程x＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )

A．4 B．2 C．0 D．－3

解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a－4＜0.故a＝0时适合条件． 二、填空题

6．下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________．(写出序号) ①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ ②一个数不是正数就是负数； ③大角所对的边大于小角所对的边； ④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；

6

2

2