初升高衔接课 第一部分 数与式的运算

●知识点1 常用的乘法公式 (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)立方差公式：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3. (3)立方和公式：(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. (4)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

(5)三数和平方公式：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc. (6)完全立方公式：(a±b)3＝a3±3a2b＋3ab2±b3. (7)a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)． (8)a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)． [对点练] 计算：

(1)(4＋m)(16－4m＋m2)； 1??111??1

(2)?5m－2n??25m2＋10mn＋4n2?； ????(3)(a＋2)(a－2)(a4＋4a2＋16)； (4)(x2＋2xy＋y2)(x2－xy＋y2)2.

【导学号：37102000】

[解] (1)原式＝43＋m3＝64＋m3. 11?1??1?

(2)原式＝?5m?3－?2n?3＝125m3－8n3.

????

(3)原式＝(a2－4)(a4＋4a2＋42)＝(a2)3－43＝a6－64. (4)原式＝(x＋y)2(x2－xy＋y2)2 ＝[(x＋y)(x2－xy＋y2)]2＝(x3＋y3)2 ＝x6＋2x3y3＋y6. ●知识点2 二次根式

(1)定义：式子a(a≥0)叫做二次根式． (2)性质：

①(a)2＝a(a≥0)； ②a2＝|a|；

③a·b＝ab(a≥0，b≥0)；

1

④

b＝a

ba(a>0，b≥0)．

(3)分母(子)有理化的方法：

分母和分子都乘以分母(子)的有理化因式，化去分母(子)中的根号．如ax＋by与ax－by，ax＋b与ax－b互为有理化因式． [对点练] 1．化简：

11(1)；(2). 2－12＋2

2＋1[解] (1)原式＝＝2＋1.

?2－1??2＋1?2－22－22－2

(2)原式＝＝＝2.

?2＋2??2－2?22－?2?22．化简下列各式： (1)?3－2?2＋?3－1?2； (2)?1－x?2＋?2－x?2(x≥1).

【导学号：37102001】

[解] (1)原式＝|3－2|＋|3－1|＝2－3＋3－1＝1. (2)原式＝|x－1|＋|x－2|

??x－1?＋?x－2?＝2x－3?x>2?，＝? ??x－1?－?x－2?＝1?1≤x≤2?.●知识点3 因式分解的常用方法 1．提公因式法

pa＋pb＋pc＝p(a＋b＋c)． 2．公式法

(1)平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2；

(3)立方和和立方差公式：a3±b3＝(a±b)(a2?ab＋b2)． 3．十字相乘法

(1)x2＋(p＋q)x＋pq型：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)． (2)二次三项式mnx2＋(mb＋na)x＋ab型：

将二次项系数mn，常数项ab写成如图1所示的十字形式，发现“十字相乘，乘积相加”等于一次项的系数mb＋na，即mnx2＋(mb＋na)x＋ab＝(mx＋a)(nx＋b)．

2

图1

[对点练] 1．分解因式： (1)x3－6x2＋9x； (2)a2(x－y)＋4(y－x)．

[解] (1)原式＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2. (2)原式＝a2(x－y)－4(x－y)

＝(x－y)(a2－4)＝(x－y)(a＋2)(a－2)． 2．用十字相乘法分解下列因式 (1)x2－3x＋2； (2)x2＋4x－12； (3)x2－(a＋b)xy＋aby2； (4)xy－1＋x－y.

【导学号：37102002】

[解] (1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x用1来表示(如图②所示)．

(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．

(3)由图④，得x2－(a＋b)xy＋aby2＝(x－ay)(x－by)． (4)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1)(y＋1)(如图⑤所示)．

第二部分 一元一次方程与一元二次方程

●知识点1 一元一次方程

(1)定义：在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程．

3

(2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.

(3)关于方程ax＝b解的讨论： b

①当a≠0时，方程有唯一解x＝a； ②当a＝0，b≠0时，方程无解；

③当a＝0，b＝0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解． [对点练]

1．已知(a2－1)x2－(a＋1)x＋8＝0是关于x的一元一次方程．求代数式2 008(a＋x)(x－2a)＋3a＋5的值．

2

?a－1＝0，

[解] 根据题意，得?

?－?a＋1?≠0，

解得a＝1，

则方程变为－2x＋8＝0，解得x＝4， 原式＝2 008(1＋4)(4－2)＋3＋5＝20 088. 2．解下列一元一次方程：

x＋4x－2

(1)－3x＋7＝4x＋21.(2)5－1＝2＋x. [解] (1)移项得－3x－4x＝21－7， 合并得：－7x＝14，系数化为1得：x＝－2. (2)去分母得：2(x＋4)－10＝5(x－2)＋10x， 去括号得：2x＋8－10＝5x－10＋10x，

移项得：2x－15x＝－8，合并同类项得：－13x＝－8， 8

系数化为1得：x＝13. ●知识点2 根的判别式

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可以由b2－4ac来判定，通常用符号“Δ”来表示．

(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 －b±b2－4acx1,2＝；

2a

(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 b

x1＝x2＝－2a；

(3)当Δ<0时，方程没有实数根．

4