§9.4 椭圆及其性质

考纲解读

考点 内容解读 要求 高考示例 2016天津,19;2015陕西,20; 常考题型 预测热度 选择题 ★★★ 解答题 1.椭圆的定义及其标准方程 掌握 2014辽宁,15 2017课标全国Ⅲ,10;2017浙江,2; 填空题 2.椭圆的几何性质 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质 掌握 2016课标全国Ⅲ,11;2016江苏,10; 2016浙江,19 2017天津,19;2016四川,20; 解答题 ★★★ 3.直线与椭圆的位置关系 掌握 2016课标全国Ⅰ,20;2015江苏,18 解答题 ★★★

分析解读 1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程.2.能熟练运用几何性质(如范围、对称性、顶点、离心率)解决相关问题.3.能够把直线与椭圆的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.4.本节在高考中以求椭圆的方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系为主,与向量等知识的综合起来考查的命题趋势较强,分值约为12分,难度较大.

五年高考

考点一 椭圆的定义及其标准方程

1.(2014安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x+=1(0

2

2

2

2.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程;

(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围.

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1

解析 (1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2

-c2

=3c2

,又a2

-c2

=b2

=3,所以c2

=1,因此a2

=4,所以,椭圆的方程为+=1.

(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2). 设B(xB,yB),由方程组消去y, 整理得(4k2

+3)x2

-16k2

x+16k2

-12=0.

解得x=2或x=, 由题意得xB=,从而yB=.

由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有=(-1,yH),=. 由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得yH=. 因此直线MH的方程为y=-x+. 设M(xM,yM),

由方程组消去y,解得xM=.

在△MAO中,∠MOA≤∠MAO?|MA|≤|MO|,即(xM-2)2

+≤+,化简得xM≥1,即≥1,解得k≤-,或k≥.

所以,直线l的斜率的取值范围为∪.

3.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c. (1)求椭圆E的离心率;

(2)如图,AB是圆M:(x+2)2

+(y-1)2

=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

解析 (1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0, 则原点O到该直线的距离d==, 由d=c,得a=2b=2, 解得离心率=.

(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2

+4y2

=4b2

.① 依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.

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2

易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k)x+8k(2k+1)x+4(2k+1)-4b=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-, x1x2=.

由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=. 从而x1x2=8-2b.

2

2

2

2

2

于是|AB|=|x1-x2|==. 由|AB|=,得=,解得b=3.

2

故椭圆E的方程为+=1.

解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x+4y=4b.②

2

2

2

依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b,+4=4b,

2

2

两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2, 得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0, 易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==.

因此直线AB的方程为y=(x+2)+1, 代入②得x+4x+8-2b=0.

2

2

所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b.

2

于是|AB|=|x1-x2|==. 由|AB|=,得=,解得b=3.

2

故椭圆E的方程为+=1.

教师用书专用(4)

4.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .

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3

答案 12

考点二 椭圆的几何性质

1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( ) A.

B.

C.

D.

答案 B

2.(2017课标全国Ⅲ,10,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( ) A.

B.

C.

D.

答案 A

3.(2016课标全国Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为 ( ) A.

B.

C.

D.

答案 A

4.(2016浙江,19,15分)如图,设椭圆+y=1(a>1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);

(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.

2

解析 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP, 由得(1+ak)x+2akx=0,

22

2

2

故x1=0,x2=-. 因此|AP|=|x1-x2|=·.

(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

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4