《

一、填空题：

高等数学》2期末复习题

1. 函数z?x2?y2?1?ln(3?x2?y2)的定义域是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设z?(1?x)y,则

?z? (1?x)yln(1?x) . ?y(1,2)3.函数z?ln(1?x2?y2)在点(1,2)的全微分dz12? dx?dy 334．设f(x?y,xy)?x2?y2,则f(x,y)? . y设f(x?y,)?x2?y2,则f(x,y)? . x5.设z?eusinv 而 u?xy v?x?y 则 ?z? exy[xsin(x?y)?cos(x?y)] ?y6．函数 z?x2?y2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2?3）的方向导数是 1?23 7.改换积分次序?dy?2f(x,y)dx? ；?dy?0y022y11?y2y?1f(x,y)dx? . 8．若L是抛物线 y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧，则?xydx= L9.微分方程(1?e2x)dy?ye2xdx?0的通解为 . 二、选择题： 1．

tan(xy) 等于 （ ）（上下求导） (x,y)?(2,0)ylimA．2， B.1 C.0 D.不存在 22．函数 z?x?y 的定义域是（ D ） A．?(x,y)x?0,y?0? B.(x,y)x2?y C.(x,y)y?0,x2?y D．(x,y)x?0,y?0,x2?y

???????f(x,y)|(x0,y0)?（ B ） 3.

?xA.lim?x?0f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0) B.lim

?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0) D. lim

?x?0?x?x 来源于网络

C.lim?x?0

5.设z?F(x2?y2)，且F具有导数，则

?z?z?x??y?（D ） A.2x?2y； B.(2x?2y)F(x2?y2)； C. (2x?2y)F?(x2?y2)； D. (2x?2y)F?(x2?y2). 6．曲线 x?acost，y?asint，z?amt，在 t??4处的切向量是 （ D ）

A．(1,1,2) B.(?1,1,2) C.(1,1,2m) D.(?1,1,2m)

7．对于函数f(x,y)?x2?xy ，原点(0,0) （ A ） A．是驻点但不是极值点 B.不是驻点 C.是极大值点 D.是极小值点 8．设I=??5x2?y2?1dxdy， 其中D是圆环1?x2?y2?4所确定的闭区域，则必有（ DA．I大于零 B.I小于零 C.I等于零 D.I不等于零，但符号不能确定。 9. 已知L是平面上不包含原点的任意闭曲线，若曲线积分 ?xdx?aydyLx2?y2?0 ，则a等于 A -1 B 1 C 2 D -2 10．若L为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分?L(x?y)ds=（ ） A．0 B.1 C.2 D.2 11.设D为x2?y2?2y,则??f(x2?y2)dxdy?（ ） D A.?2dy?2y?y200f(x2?y2)dx； B. ?2?10d??0f(r2)rdr； C. ??2sin?(r2)rdr； D. ?1dx?220d??0f?10f(x?y2)dy. 12. 微分方程ex(y??y)?1的通解为（ ） A.yex?c； B.ye?x?x?c；C.y?(x?c)e?x；D.y?cxe?x 13.（ ）是微分方程y???y??e?x在初始条件yx?0?1,y?x?0??1下的特解.

A.y?c?x1?c2xe；B.y??xe?x；C.y?1?2xe?x；D.y?1?xe?x. 三、计算题：

1.设z?f(exsiny,x3?y3)，求

?z?z?x及?y，其中f 具有一阶连续偏导数. 2．设??x?y?u?vysinu， 求 ?u，?v?xsinv??x ?x

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）

）. （

3．求旋转抛物面 z?x2?y2?1在点(2,1,4)处的切平面及法线方程。 4．求函数f(x,y)?x3?y3?3x2?3y2?9x的极值

5．计算??xy2dxdy，其中D是由圆周 x2?y2?4 及y轴所围成的右

D半闭区域.

6．计算??e?ydxdy，其中D是以O（0,0），A（1,1），B（0,1）为顶点的三角

D2形闭区域.

7.计算???xdxdydz ，其中?是三个坐标面与平面 x?y?z?1 所围成的区域.

?8.计算 ?(2x?y?4)dx?(3x?5y?13)dy，其中L为圆x2?y2?25 的正向边界。 L9.计算曲线积分 ?L(y3?x)dy?(x3?y)dx, 其中L是从O(0, 0)沿上半圆x2?y2?2x到A(2, 0).

10.验证：在整个xoy面内，4sinxsin3ycosxdx?3cos3ycos2xdy是某个函数的全微分，并求出这样的一个函数. 11.求微分方程(x2?1)y??2xy?4x2 的通解. 12.求解微分方程的特解： (y2?3x2)dy?2xydx?0,y(0)?1 13.解微分方程 yy???(y?)2?(y?)3?0 .

四、应用题： 1.用钢板制造一个容积为V的无盖长方形水池，应如何选择水池的长、宽、高才最省钢板.

2.已知矩形的周长为24cm，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体，试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积. 3.求抛物线y2?4x与曲线y?2x所围成的闭区域的面积. 4.求抛物面z?6?x2?y2与锥面z?x2?y2所围成的立体的体积. 高等数学2期末复习题答案 一、填空题：

121、{(x,y)1?x2?y2?3} 2、(1?x)yln(1?x) 3、dx?dy

33x2(1?y)4、x?2y; 5、exy[xsin(x?y)?cos(x?y)]

1?y26、1?23 （注：方向导数

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?）

(x0,y0) 来源于网络

7、?dx?xf(x,y)dy；

024x?0?1dx?1?x0f(x,y)dy??dx?011?x20f(x,y)dy

0144 （注：?xydx??x(?x)dx??xxdx?） 9、y2(1?e2x)?C

L1055二、选择题：

1、A; 2. D; 3. B; 4.缺 5. D; 6. D; 7. A; 8. A; 9. A; 10.C; 11. C; 12.C; 13.D 三、计算题：

8、

1.解：令u?exsiny,v?x3?y3，则

2. 解：两方程分别两边对x求偏导数，注意u,v是关于x,y的二元函数，得 ??u?v1?????x?x ??v?sinv?xcovs?y??x?这是以当 J???u?v??1???x?x 即 ? ?u?u?v?ycosu?xcosv?sinvucos??x?x?x??u?v,为未知量的二元线性方程组。 ?x?x11ycosu?xcosv??(xcosv?ycosu)?0时，有 11?u11xcosv?sinv?v11sinv?ycosu，? ?????xJsinv?xcosvxcosv?ycosu?xJycosusinvxcosv?ycosu3. 解：旋转抛物面 z?x2?y2?1在点(2,1,4)处的切向量 于是，所求切平面方程为 4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0，即 4x?2y?z?6?0 法线方程为 x?2y?1z?4 ??42?1??f2?3x?6x?9?0???x4. 解：解方程组?， ?f???3y2?6y?0???y得四个驻点P1(1,0),P2(1,2),P3(?3,0),P4(?3,2).又

??????6y? fx??. 6x?6x?6,fxy?0,fyy2 对P1(1,0),AC?B?0,且A?0,则P1(1,0)是函数的极小值点；

对P2(1,2),AC?B2?0,则P2(1,2)不是极值点；

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