（3）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组． 20．（8分）一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．

棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解）

【解答】解：画树形图：

共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种， 摸出的两个小球标号之和是3的占2种， 摸出的两个小球标号之和是4的占3种， 摸出的两个小球标号之和是5的占两种， 摸出的两个小球标号之和是6的占一种； 所以棋子走E点的可能性最大， 棋子走到E点的概率＝＝．

21．（8分）如图，在 Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5

，∠C＝30°．点D从点C出发

沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE＝DF

（2）四边形AEFD有可能是菱形吗？若能，请你求出相应的t值；若不能，说明理由． （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

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【解答】解：（1）在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t， ∴DF＝CD＝t． 又∵AE＝t， ∴AE＝DF．

（2）四边形AEFD能够成为菱形．理由如下： 设AB＝x，

∵∠B＝90°，∠C＝30°， ∴AC＝2AB＝2x．

由勾股定理得，（2x）﹣x＝（5解得：x＝5， ∴AB＝5，AC＝10． ∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t． ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

若使四边形AEFD为菱形，则需AE＝AD， 即t＝10﹣2t， 解得：t＝即当t＝

（3）当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形，理由如下： 分情况讨论：

①当∠EDF＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，

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2

2

），

2

．

时，四边形AEFD为菱形．

∴t＝．

②∠DEF＝90°时，AD＝AE，即10﹣2t＝t， ∴t＝4．

③∠EFD＝90°时，此种情况不存在． 故当t＝秒或4秒时，△DEF为直角三角形．

22．（9分）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△EFD，其中点A的对应点为点E，点B的对应点为点F．BE与FC相交于点H．

（1）如图1，直接写出BE与FC的数量关系： BE＝FC ； （2）如图2，M、N分别为EF、BC的中点．求证：MN＝

；

（3）连接BF，CE，如图3，直接写出在此旋转过程中，线段BF、CE与AC之间的数量关系： BF+CE＝AC ．

2

2

2

【解答】（1）解：∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BD为斜边AC上的中线， ∴BD＝AD＝CD， 又∵ED＝AD，FD＝BD， ∴ED＝FD，

∵∠BDE＝∠FDE+∠α＝90°+∠α， ∠CDF＝∠CDB+∠α＝90°+∠α， ∴∠BDE＝∠CDF，

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在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD， ∴BE＝FC．

（2）证明：如图2，连接BF，取BF中点G，连接MG、NG，

，

∵△BED≌△CFD， ∴∠1＝∠2， 又∵∠3＝∠4，

∴∠FHE＝∠FDE＝90°， ∴BE⊥CF，

∵M为EF中点，G为BF中点， ∴MG∥BE，MG＝

，

∵G为BF中点，N为BC中点， ∴NG∥FC，NG＝

，

又∵BE＝FC，BE⊥FC， ∴MG＝NG，∠MGN＝90°， ∴△MGN为等腰直角三角形， ∴MN＝

（3）解：由（2），可得BE⊥FC， ∴BF＝BH+FH，

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2

2

2

．