图3-42
X，故消费者对X的需求函数为X?（3）当PX?PY时，消费者仅消费
I。 PX
14．某消费者的效用函数为U?XY，PX?1元，PY?2元，收入I?40元，现在PY突然下降到1元。试问：
（1）Y价格下降的替代效应，使他买更多还是更少的Y？
（2）Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入？收入效应使他买更多还是更少的Y？
（3）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X？Y价格下降对X的需求的总效应是多少？对Y需求的总效应是多少？
MUXPX解：由消费者均衡条件可得，X?2Y，结合预算方程X?2Y?40，可知?MUYPYX?20，Y?10。
当P此时消费者均衡条件变为X?Y，结合预算方程X?Y?40可得新的消费量Y?1时，
为X?20，Y?20。
故Y价格下降对Y的总的效应为20?10?10，对X的总的效应为0。
替代效应是指保持原有消费组合不变，当商品价格变动时，商品消费数量的变动。 如果保持原有的效用水平不变，即需要的收入补偿为：而当PU?XY?20?10?200，Y?1时，X?Y?102。
（1）Y价格下降对Y需求的替代效应为102?10，使他买更多的Y。
（2）Y价格下降对Y需求的收入效应为10?102?10?20?102，相当于使他增加了
???20?102??1?20?102的收入，收入效应使他买更多的Y。
（3）Y价格下降对X需求的替代效应为102?20，即替代效应使他买更少的X。
Y价格下降对X需求的收入效应为0?102?20?20?102，即收入效应使他买更多
??的X；Y价格下降对Y的总的收入效应为20?10?10，对X的总的收入效应为0。
15．老王喜欢喝白酒，当其他商品价格固定不变时，他对高质量的白酒的需求函数为q?0.02M?2P。收入M?7500元，价格P?30元。现在价格上升到40元，问价格上涨的价格效应是多少瓶酒？其中替代效应是多少瓶？收入效应是多少瓶？
解：当P?30，M?7500时，q?0.02?7500?2?30?90。 当P?40时，q?0.02?7500?2?40?70。
故价格上涨的价格效应是70?90??20瓶酒。
替代效应是在新的价格下保持原有消费组合不变，此时补偿收入为：
M??7500??40?30??90?8400。
当M??8400，P?40时，q??0.02?8400?2?40?88。 故替代效应为88?90??2瓶，收入效应为?20???2???18瓶。
16．为了刺激消费，政府拟在以下两种方案中选择其一：对购买的每单位某种商品均补贴r（比例补贴），或者给予消费者收入补贴R（定额补贴）。假定这两种不同补贴的总金额相同。请用图比较这两种不同补贴方案会对消费者的选择和效用有什么影响？说明政府采取哪一种方案更能提高消费者的效用水平？
答：如图3-43所示。
图3-43
比例补贴后，相当于每单位X商品的价格下降了，因而预算线由AB绕A点移动至AB?的位置。设原来的消费点为C，效用为U0，当政府给予比例补贴后，消费者会以EC?的收入来购买OG的X。而在补贴前，该消费者欲购买OG的X，需要花费EF的收入才能得到，其差额FC?即为政府补贴金额。
在政府付出相同金额（FC?）的情况下，把比例补贴改为定额补贴，即给予消费者FC?数额的现金，则预算线会通过C?点而与AB线平行（因为此时X价格不会变动，如图中A??B??所示）；此时新的预算线A??B??会与一条满足水平更高的无差异曲线相切，故消费者的消费点会移至点C??，而消费者的效用会增加至U1?，比间接补贴的效用更大。由于在定额补贴之下，消费者能有更多的选择自由，而不会把补贴的金额全数用来购买X，故所能获得的效用也比间接补贴要大。
17．假定效用函数为U?q0.5?2M，q为消费的商品数量，M为收入。试求： （1）商品的需求函数及其反需求函数。 （2）求p?0.05，q?25时的消费者剩余。 解：（1）消费者面临的消费最大化问题为：
MaxU?q0.5?2M
s..tpq?M
构造拉格朗日函数：L?q,M,???q0.5?2M???pq?M?。
通过一阶条件
14?L?L?L1?0和?0即可求出该商品的需求函数为：q?，反?0，?M???q16p2需求曲线为：p?q?1/2。
（2）当p?0.05，q?25时，消费者剩余如图3-44阴影部分所示。
图3-44
消费者剩余为：CS??
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