图3-36
（4）如果商品2的价格提到4元，新的预算线为4X1?4X2?200。
由
MUX1MUX2?MUX1MUX21P ?1?1??2P2PP12故他仍会将所有收入花在豆制品X2上，从而X1?0，X2?50。
7．假定某消费者总喜欢1杯牛奶和2根油条一起吃。如果每根油条价格为P1，每杯牛奶价格为P2，消费者花费1元在牛奶与油条上，那么他将打算购买多少牛奶和油条？
解：令X1和X2分别表示牛奶和油条，由题意可知，X1和X2为互补品，从而该消费者的效用函数为U?Min?2X1,X2?。
在最优消费点上，有：2X1?X2，PX11?P2X2?1。 解得：X1?12，X2?。
P?2PP?2P1212
8．当商品X的价格上涨，商品Y的消费不变。 （1）试绘出相应的P.C.C.曲线。
（2）请判断X和Y分别为低档品还是正常品？为什么？
X商品价格由P答：（1）设商品X的初始价格为P1，消费者的初始均衡点为E1。1上涨
至P2和P3后，均衡点从E1移动到E2再到E3。由于商品Y的消费量不变，所以P.C.C.曲线为平行于横轴的直线，如图3-37所示。
图3-37
（2）关于两种商品类型的判断需要通过I.C.C.曲线来分析。 I.C.C.曲线是在消费者偏好和商品价格不变的情况下，仅由收入变化引起的最优消费组合均衡点的变化轨迹。
第一种情况：在图3-37中作两条补偿预算线，平行于原预算线并分别与U2、U3相切于E2、E3点的右侧，因此，随着收入下降，消费者对两种商品的购买力都会下降，因此，X、
Y都为正常品。
第二种情况：如图3-38所示，价格上升后，新的均衡点为E2，Y的消费量不变，X的消费量减少，作补偿预算线与新无差异曲线U2相切于A点，从图中可以看出，商品Y的消费量减少了，但商品X的消费量增加了。此时，Y是正常品，而X是低档品；同理，X还有可能是中性品。
因此，仅能判断出Y是正常品，但不能判断X是正常品、中性品还是低档品。
图3-38
9．若X，Y的I.C.C.曲线为垂直线，则我们可从中得出哪些推论？
答：设I1、I2、I3表示三个不同的收入水平，且I1?I2?I3，根据题意得图3-39。
图3-39
I.C.C.曲线为垂直线表示随着收入增加，商品X的消费数量不变，增加的收入全部用于购买商品Y，从而商品X为中性品，商品Y为正常品。
（1）X为中性品。在其他条件不变的情况下，商品X的消费量不随收入变化而变化，其需求收入弹性为零，因而它是中性品；其次，在其他条件不变的情况下，如果它的价格发生变化，将只有替代效应，没有收入效应，总效应＝替代效应，其需求曲线的斜率一定为负。
（2）Y为正常品。在其他条件不变的情况下，商品Y的消费量随收入的增加而增加，其需求的收入弹性大于零，因而它是正常品。
10．假设效用函数为U?X,Y??XY，请证明X与Y的恩格尔曲线是一条直线。 证明：消费者效用最大化问题为：
maxU?X,Y??XY s.. tPXX?PYY?I12121212构造拉格朗日函数为：
L?XY???PXX?PYY?I?
1?L1?12F.O.C：?XY2??PX?0
?X21??L112?XY2??PY?0 ?Y21212?L???PXX?PYY?I??0 ??解得：X?II11，Y?。即X和Y的恩格尔曲线均为直线，其斜率分别为和。 2PX2PY2PX2PY
11．若电影票价上涨，则某人将花更少的钱去看电影，试绘出他的P.C.C.线。
答：如图3-40所示，横坐标表示电影票的数量，纵坐标表示消费者的货币收入或在其他商品上的支出。随着电影票价的上涨（p1?p2?p3），预算线绕其与纵轴的交点向原点方向旋转，并分别与无差异曲线相切于C1、C2、C3，那么E1C1、E2C2、E3C3分别为三种价格水平下该消费者在电影票上的花费，由于电影票价上涨，消费者将花更少的钱去看电影，所以有E1C1?E2C2?E3C3，P.C.C.曲线向右下方倾斜。
图3-40
12．设某人对X，Y的效用函数为U?X,Y??lnX2Y3。
（1）试求出此人普通的需求曲线。
（2）若PX?4元，PY?4元，I?120元，此人会消费多少X及Y？ （3）求此人Y商品收入补偿的需求曲线？ 解：（1）MaxU?X,Y??lnX2Y3
s..tPXX?PYY?I
构造拉格朗日函数：L?lnX2Y3???PXX?PYY?I?。 F.O.C.：
?L2???PX?0 ?XX?L3???PY?0 ?YY?L???PXX?PYY?I??0 ??解得：X?2I3I，Y?，即此人对X和Y的普通需求函数。 5PX5PY2?1203?120?12，Y??12。 5?45?6（2）将PX?4，PY?4，I?120代入（1）的结果中，得X?（3）在消费均衡点，此人的满足程度为U?12,12??ln125?5ln12。
设PX?4不变，Y的收入补偿曲线可由下式求得：
Min4X?PYY
s..tU?lnX2Y3?5ln12
构造拉格朗日函数：L?4X?PYY???lnX2Y3?5ln12?。 F.O.C.：
?L2?4????0 ?XX?L3?PY????0 ?YY?L???lnX2Y3?5ln12??0?X2Y3?125 ???6?解得Y?12???，此即Y商品的收入补偿需求曲线。
?PY?25
13．某消费者对X、Y商品的效用函数为U?2X?Y。商品X、Y的价格PX、PY给定，消费者的收入亦给定。
（1）请绘出该消费者对这两种商品的无差异曲线。
（2）当消费者收入增加时，如果X商品的价格小于Y商品的价格，请画出该消费者对商品X的收入——消费曲线和恩格尔曲线。
（3）当消费者的收入I给定时，如果X商品的价格小于Y商品的价格，试求该消费者对商品X的需求函数。
答：（1）该消费者对两种商品的无差异曲线如图3-41所示。
图3-41
MUX??2，即无差异曲线的斜率恒为-2。 MUY由效用函数U?2X?Y可知，MRSXY（2）若PX?PY，有费X商品：X?MUXPMUXMUY?1?X??，所以该消费者会将收入全部用于消MUYPPPYXYI，此函数即代表对商品X的恩格尔曲线，如图3-42所示。 PX