奥林匹克物理竞赛辅导
《机械振动与机械波》
【竞赛知识要点】简揩振动。振幅。频率和周期。位相。振动的图象。参考圆。振动的速度和加速度。由动力学方程确定简谐振动的频率。阻尼振动。受迫振动和共振（定性了解）。横波和纵波。波长、频率和波速的关系。波的图象。波的干涉和衍射（定性）。声波。声音的响度、音调和音品。声音的共鸣。乐音和噪声。
一、简谐运动
【内容讲解】
1.匀速圆周运动的质点在其一条直径上的分运动是简谐运动 据此可导出简谐运动的周期为：T?2?mk
2.简谐运动的振动方程为：x?Acos?t或x?Acos(?t??)
其中，?t??叫做相位，?叫做初相位，简称初相。?简谐运动质点的速度方程：
?km
v????Asin??t
简谐运动质点的加速度方程：a根据x???2Acos?t
?Acos(?t??)得：t=o时，有：
x0?Acos? v0????Asin?
所以，初相位?满足：tan?3.两个垂直方向上的简谐运动的合成 （1）同频同相：x
??v0??x0
?A1cos?t
y?A2cos?t
整理得：
y?A2x 位移r?x2?y2?A1y?A1?A2cos?t
22 所以，合振动为沿直线
A2x的简谐运动，振幅为：A?A1第1页
A1?A222
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（2）同频反相：x
?A1cos?t
y??A2cos?t
整理得：
y??A2x 位移r?x2?y2?A1y??A1?A2cos?t
22 所以，合振动为沿直线
A2x的简谐运动，振幅为：A?A1A1?A222
（3）同频相位差
? 2x?A1cos?t
y?A2cos(?t?
?2)
整理得：
x2A12?y2A22?1
可见，合振动为轨迹是椭圆的运动，若A1=A2, 合振动为匀速圆周运动 。
【典型例题讲解】
第一部分：简谐振动的特征、回复力系数K
1、如图所示，劲度系数分别为k1、k2的两轻质弹簧分别连在轻质细杆上，并悬挂于天花板上，在杆的中点挂一质量为m的物体，平衡后将物体稍微向下拉一小位移放开，求物体振动的周期。
2、五根自由状态下长度向同，劲度系数同为k的轻弹簧在光滑水平面上连接成如图所示的系统。现将A点固定，B连接一质点m，求质点m沿
AB方向做微小振动的周期。
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3、如图所示，粗细均匀的U形玻璃管内装有某种液体,设法使一端液面略高于另一端液面,由此液面开始自由振动,不计摩擦.
(1) 试证明液体振动为简谐振动(微小振动)
(2) 若U形管内液体总长为L,密度为ρ,管的截面积为S,求振动周期
4、位于竖直平面内的“L”形等截面弯管，两臂分别与水平面成α、β角，如图所示。其内盛有长为L、质量为m的液柱，受扰动后液柱将沿管作往返振荡，不计管壁的阻力，求振荡周期。
5、一劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端系一质量为m的小物块置于水平台面上，只在平衡位置（弹簧原长处）附近一段长为l的小距离内，物块与台面间的动摩擦因数为?，台面其他位置都是光滑的。今将物块从平衡位置拉开x0距离（x0
??l）后由静止释放，求物块停止运动前经历的时间。
第二部分：“双振动”问题
6、如图在光滑水平面上,在劲度系数为k的弹簧的两端各连接一滑块,质量分别为m1和m2,今将两滑
块间距离由弹簧原长增大L后释放, 则两滑块都将振动,试求它们各自的振幅和周期.
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7、一个弹簧振子，两端为质量都是m=0.1kg、大小不计的物体A,B,中间是一静止长度为L0,劲度系数为k0、质量可以忽略的理想弹簧，现此振子自某一高度、A端在下竖直的自由下落至一水平桌面，开始下落时，A距桌面的高度为H=2m,开始时弹簧无伸长或压缩，A与桌面发生弹性碰撞后跃离桌面，当A第二次接触桌面时，发现弹簧的压缩达到最大。求： （1）弹簧劲度系数k0之值 （2）A第二次与桌面接触时的速度
8、如图所示，质量分别为m1、m2的两滑块连在劲度系数为k的轻弹簧的两端，并静止在光滑水平面上。某时刻滑块m2突然获得一沿弹簧方向水平向右的速度υ0，并规定该时刻为t=0，试求出两滑块运动的位移与时间的关系。
9、两个劲度系数均为k的轻弹簧分别与质量为m的物体A、B相连，A、B之间用劲度系数为1.5k的轻弹簧相连，系统置于光滑水平面上，两侧弹簧连于固定点P、Q，此时各弹簧均处于自然长度，如图所示。今使两物体以相同频率作简谐运动，求振动频率；并问如何实现这样的振动？
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10、一弹簧振子竖直悬挂，一弹簧系一屏与弹簧振子并排悬挂，它们在竖直方向振动的周期都是1s，有平行光将弹簧振子的影子垂直投在屏上，如图所示。将振子和屏都向下拉10cm，先是放弹簧振子，过t时间后在释放屏，为使影子在屏上的振幅为5cm，t应满足什么条件？
第三部分：振动综合性问题
11、三根长度都为L=2.00m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动？
12、某一弹簧振子，从最大正向位移处开始计时，经过t=１s回复力的即时功率首次达到最大，并且在振动过程中，回复力即时功率绝对值最大的两位置间的距离为４０㎝，振子质量为１kg。
（１） 试写出振子的振动方程
（２）求出第一次回复力即时功率达到最大值时振子的动能和从ｔ＝０到该时刻的过程中振子受到的冲量
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13、一质量为M 的盘子悬挂在劲度系数为k的轻弹簧下端，质量为m的砝码自离盘高为h处自由落下掉在盘子上然后一起运动，求从砝码与盘子相碰到共同运动到最低位置所用的时间。
14、一个大容器中装有两种液体，它们的密度分别为?1和?2（?1
??13(?1??2)的均匀木棒竖直地放在上面的液体中，其下端距两液体的分界面的距离为l，由静24止释放木棒，试计算木棒下降到最低处所用的时间。不计木棒受的液体的摩擦阻力，液体足够深，木棒即没有露出液面，也没有与容器底相碰。
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15、广而深的静水池中竖立一固定细杆，其露出水面部分套着一个长度为l、密度为?截面均匀的均质细管，细管可沿固定细杆无摩擦地竖直上下滑动。现在用受持管使管的下端刚刚接触水面，放手后管竖直下沉，水的密度为?0，不计水的摩擦阻力和表面张力。
（１） 当细管的密度为?（２） 在???1时，管能下沉到刚好能全部没入水中，求?1??
??1的情况下，求管下沉所用的时间。
?2?0时，求管从释放到下沉到最低点所用的时间。 3（３） 当细管的密度为?
16、如图所示，A是一个小球，可视为质点，B是均匀的刚性薄球壳。假设A、B的碰撞为完全弹性的，B与桌面的碰撞为完全非弹性的。已知球壳B的质量为m，内半径为r，放置在无弹性的水平桌面上。小球A的质量亦为m，通过一自然长度为r的柔软的弹性细绳悬挂在球壳内壁的最高点，弹性细绳被拉长时相当于劲度系数为k的轻弹簧，且k?9mg2r。起初
小球A拉到球壳内的最低点，然后轻轻释放。试详细、定量地讨论小球A以后的运动。
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17、如图所示，有两根劲度系数均为k的轻质弹簧和一质量为m的物体（可视为质点）组成一弹簧振子，每根弹簧的一端都与物体相连，另一端都与墙壁相连，物体置于水平面上。物体与水平面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为?，物体位于O点时，两弹簧恰好都处于原长。现将物体向右拉离O点x0（不超过弹性限度）距离，然后将物体由静止释放。假设弹簧被拉长和压缩时其整体不弯曲，一直保持在一条直线上，现规定物体从最右端运动到最左端（或从最左端运动到最右端）为一个振动过程。求
（１） 从释放到物体停止，物体共运动了多少个振动过程？ （２） 从释放到物体停止，物体共运动了多长时间？ （３） 物体最后停在什么位置？
（４） 整个过程中物体克服摩擦力做了多少功？
18、一只狼沿半径为R的圆形岛边缘逆时针匀速奔跑，如图所示。当狼到达A点时，一只猎犬以相同的速率从圆心出发追击狼，追击过程中，狼、猎犬、圆心始终在一条直线上，则猎犬的运动轨迹是 ，在 追上狼。
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19、长雪橇在光滑的冰上以速度v0滑行，之后其滑上沥青马路，滑行不到雪橇长度的一半便停止下来。此后突然给雪橇初速度v0，雪橇再滑行一段距离后停下来。求这两个阶段雪橇滑行的距离和时间之比各是多少？
20、如图所示的系统中，两个物体分别固定在两根轻弹簧上置于光滑水平面上，借助线维持在与侧板距离为
l2处，弹簧另一端固定在侧板上，两弹簧未形变时长度相同均为l，现同时烧断两线，此后两
物体发生对心碰撞且粘合在一起，进行振动，求物体在振动过程中具有的最大速度。弹簧的进度系数和两物体的质量在图上已标明。物体可视为质点。
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第四部分：振动的合成
21、如图所示，固定的大园环上均匀分布并固定着三个小环A,B,C,三根橡皮绳一段固定，另一端在A,B,C处恰为原长，分别把三根橡皮穿过三小环拉至大环中心O共同拴住一个质量为m的质点处于平衡，三橡皮绳的劲度系数均为K。将质点沿一根橡皮绳方向拉一距离r后放手，（1）试确定质点的运动规律。 （2）若在放手的同时给质点一个垂直于r的初速度v, 试确定质点的运动规律。
22、如图所示，在水平光滑桌面的中心有一光滑小孔O，一条劲度系数为k的轻而细的弹性绳穿过小孔O，绳的一端固定于A点（A点位于小孔正下方），另一端系一质量为m的质点。弹性绳的自然长度等于OA。现将质点沿桌面拉至B点，OB=l，并将质点沿垂直于OB的方向以速度v0沿桌面抛出，试求：
（１） 质点绕O点由B点转过900到C点所需的时间。 （２） 质点到达C点时的速度及C到O的距离
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23、平均深度为6m的某海峡的潮汐涨落可看成由太阳引起的潮汐和由月亮引起的潮汐两个成分组成，认为每个成分的潮汐都随时间做简谐变化。设太阳潮的幅度为1.5m，周期为12h，月亮潮的幅度为2.5m，周期为12.5h，试求该海峡的潮汐涨落与时间的关系。
二、机械波 【内容讲解】
1、 波动方程
若坐标原点处的质点初相位为?，简谐波的振幅为A，角频率为?，波以速度v沿x轴正方向传播则波动方程为：
xy?Acos[?(t?)??]
v2、波的叠加、波的干涉 3、多普勒效应
观察者和波源都在运动时观察者接收的频率为
f/?v?v观v?v源f
【典型例题讲解】
例1、超音速飞机在空中以速度υ匀速直线飞行，飞机发出的声音向周围以球面波形式传播，传播速度为υ0，试证明球面波的包络面是一个圆锥面；这个圆锥成为马赫锥，马赫锥的半顶角叫做马赫角，求出马赫角的大小。
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例2、如图所示，一列沿x轴正向传播的简谐波的波动方程为：
y?Acos[200?(t?x)]（表达式中各物理量的单位都是国际单位），垂直于x轴的一反射200面与x轴的交点为A，OA=2.25m，波反射后振幅不变化，反射点A为固定点，试写出反射波的方程。
例3、潜水艇在深度为h0=500m的水下游弋。声波在水中的速度随深度的增加而减小，深度每增加100m，声速减小4m/s，而靠近海面的声速为υ0=1500m/s，问：潜艇上的声纳员能发现离潜艇水平距离为多远的水面上的舰艇？
例4、一个发生球面声波的声源放在反射墙AB附近P1点上, 有小孩在P2处听这一声音,如图.声波速度为331m/s,若P1频率从小到大连续变化。求小孩在P2处听到加强的声音的最低频率.
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例5、质量为m的一系列小物块用劲度系数为k的小弹簧等间距（间距为d）地连接成一排，置于光滑水平面上，如图所示。当左端物块作角频率为ω的左右简谐振动时，此振动将自左向右逐渐传播，使各物块相继作同频率、同振幅的简谐振动，求传播速度
例6、飞机在上空以速度v = 200m/s作水平飞行，发出频率为观察者在4s内测定飞机发出的声波的频率由
f= 2000Hz的声波。静止在地面上的
。已知声波在空气中的速度
f1= 2400Hz降为
f2= 1600Hz
v0= 330m/s。试求：飞机的飞行高度h。
例7、音叉p沿半径为r=8m的圆周以角速度?频率为为d
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?4rad/s做匀速圆周运动，如图所示。音叉发出
f0?500Hz的声波，声的传播速度为v0?330m/s。观察者M与圆周共面，与圆心的距离
为OP与OM的夹角。
?2r。试问???时观测到的声音频率为最高或最低，并求出其数值。?奥林匹克物理竞赛辅导
例8、弦振动频率与弦长、张力以及线密度（弦单位长度的质量）有关，求它们之间的关系。
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