2013届高考数学考点讲解:考点13 三角函数的图像和性质(新课标解析版) 下载本文

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5????)??2sin??2,即???2 62645?故f(x)?2sin(x?)?2,函数f(x)的值域为[2?2,2?2].

36即???2sin(?【点评】本题考查三角函数的最小正周期,三角恒等变形;考查转化与划归,运算求解的

能力.二倍角公式,辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛,它在三角恒等变形中占有重要的地位,可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期,一般运用公式T?2??来求解;

求三角函数的值域,一般先根据自变量x的范围确定函数?x??的范围.来年需注意三角函数的单调性,图象变换,解三角形等考查.

4.(2012年高考(北京理))已知函数f(x)?(sinx?cosx)sin2x.

sinx(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.

【方法总结】求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的

单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).

【考点剖析】

一.明确要求

1.考查三角函数的值域与最值 2.考查三角函数的单调性

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3.利用三角函数的值域和单调性求参数的值 二.命题方向

1.三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点. 2.利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.

3.题型不限,选择题、填空题、解答题都有可能出现,常与多个知识点交汇命题. 三.规律总结

一种方法

M-m

在由图象求三角函数解析式时,若最大值为M,最小值为m,则A=2,kM+m2π

=2,ω由周期T确定,即由ω=T求出,φ由特殊点确定. 一个区别

由y=sin x的图象变换到y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位|φ|

变换,平移的量是ω(ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值. 两个注意

作正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域;

(2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就可根据周期性作出整个函数的图象. 两条性质 (1)周期性

函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为|ω|,y=tan(ωx+φ)的最小

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π

正周期为|ω|. (2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx,而偶函数一般可化为y=Acos ωx+b的形式. 三种方法

求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性;

(2)形式复杂的函数应化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;

(3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

【基础练习】

1.(教材习题改编)y?2?3cos(x?)的最大值为 ,此时x=

4?

2.(人教A版教材习题改编)函数y=cos?x+?,x∈R( ).

?

?

π?3?

A.是奇函数 B.是偶函数

C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案 C

?π?

3.y=sin?x-4?的图象的一个对称中心是( ).

??A.(-π,0)

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?3π?

B.?-4,0? ??

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?3π?C.?2,0? ???π?

D.?2,0? ??

4. 已知简谐运动f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<?的部分图象如图所示,则该简谐运动

??

π?2?

的最小正周期T和初相φ分别为( ).

π

A.T=6π,φ=6 π

C.T=6,φ=6

π

B.T=6π,φ=3 π

D.T=6,φ=3

5. 函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则

π2

g(x)的解析式应为( ).

A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x 答案 A

?π?

解析 由图象的平移得g(x)=cos?x+2?=-sin x.

??

6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=________.

T2ππ42π3

解析 由题意设函数周期为T,则4=3π-3=3,故T=3π.∴ω=T=2.

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