。 。 。 。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 配餐作业(十二) 圆周运动的规律及应用

A组·基础巩固题

1．如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视示意图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5.0 m，

B点的转弯半径为4.0 m，学员和教练员(均可视为质点)( )

A．运动周期之比为5∶4 B．运动线速度大小之比为1∶1 C．向心加速度大小之比为4∶5 D．受到的合力大小之比为15∶14

2π

解析 A、B两点做圆周运动的角速度相等，根据T＝知，周期相等，故A项错误；

ω根据v＝rω知，半径之比为5∶4，则线速度之比为5∶4，故B项错误；根据a＝rω知，半径之比为5∶4，则向心加速度大小之比为5∶4，故C项错误；根据F＝ma知，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，则合力大小之比为15∶14，故D项正确。

答案 D

【解题技巧】

解决本题的关键是学员与教练员的角速度大小相等，掌握线速度、角速度、向心加速度之间的关系，并能灵活运用。

2．某同学设计了一种能自动拐弯的轮子。如图所示，两等高的等距轨道a、b固定于水平桌面上，当装有这种轮子的小车在轨道上运行到达弯道略微偏向轨道外侧时，会顺利实现拐弯而不会出轨。下列截面图所示的轮子中，能实现这一功能的是( )

2

1

解析 要使小车顺利拐弯，必须提供向心力，根据小车的受力情况，判断轨道提供的向心力，即可判断。当该小车在轨道上运行到达弯道略微偏向轨道外侧时，由于惯性，内侧轮高度略降低，外侧轮高度略升高，轨道对小车的支持力偏向轨道内侧，与重力的合力提供向心力，从而顺利拐弯，故A项正确；当该小车在轨道上运行到达弯道略微偏向轨道外侧时，由于惯性，内侧轮高度略升高，外侧轮高度略降低，轨道对小车的支持力偏向轨道外侧，小车会产生侧翻，故B项错误；当该小车在轨道上运行到达弯道略微偏向轨道外侧时，由于惯性，内侧轮高度略升高，外侧轮高度略降低，轨道对小车的支持力偏向轨道外侧，小车会产生侧翻，故C项错误；当该小车在轨道上运行到达弯道略微偏向轨道外侧时，没有外力提供向心力，由于惯性，小车会出轨，故D项错误。

答案 A

3.如图所示，可视为质点的木块A、B叠放在一起，放在水平转台上随转台一起绕固定转轴OO′匀速转动，木块A、B与转轴OO′的距离为1 m，A的质量为5 kg，B的质量为10 kg。已知A与B间的动摩擦因数为0.2，B与转台间的动摩擦因数为0.3，如木块A、B与转台始终保持相对静止，则转台角速度ω的最大值为(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s)( )

2

A．1 rad/s C.3 rad/s 对AB整体，有

(mA＋mB)ωr≤μ2(mA＋mB)g，

代入数据解得ω≤ 2 rad/s，故选B项。 答案 B

4．如图所示，内壁光滑的竖直圆桶，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆桶上表面圆心，且物块贴着圆桶内表面随圆桶一起转动，则( )

2

2

B.2 rad/s D．3 rad/s

2

解析 由于A、AB整体受到的静摩擦力均提供向心力，故对A，有μ1mAg≥mAωr，

A．绳的张力可能为零 B．桶对物块的弹力不可能为零

C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大

解析 当物块随圆桶做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，A、D项错误，C项正确；当绳的水平分力提供向心力的时候，桶对物块的弹力恰好为零，B项错误。

答案 C

5．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为( )

A.3mg C．3mg

B.

4

3mg 3

D．23mg

解析 设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcosθ＝

3

L。根据题述小球在最高点速率为v时，2

mv2

两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为

rm(2v)2

F，则有2Fcosθ＋mg＝，联立解得F＝3mg，A项正确。

r答案 A

6．(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，

3

绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )

A．a绳的张力不可能为零

B．a绳的张力随角速度的增大而增大 C．当角速度ω＞

gltanθ

，b绳将出现弹力

D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化

解析 对小球受力分析可得a绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得Ta＝

mgsinθ

，为定值，A项正确，B项错误；当Tacosθ＝mωl时，ω＝ 2

gltanθ

时，b绳的

弹力为零，若角速度大于该值，则b绳将出现弹力，C项正确；由于绳b可能没有弹力，故绳b突然被剪断，则a绳的弹力可能不变，D项错误。

答案 AC

7．(多选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则( )

A．飞镖击中P点所需的时间为

Lv0

gL2

B．圆盘的半径可能为2 2v0

2πv0

C．圆盘转动角速度的最小值为 L5πgLD．P点随圆盘转动的线速度可能为

4v0

解析 飞镖水平抛出做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此t＝，故A项正

Lv0

4

12gL确；飞镖击中P点时，P恰好在最下方，则2r＝gt，解得圆盘的半径r＝2，故B项错误；

24v0θ

飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0,1,2，…)，故ω＝＝2

t(2k＋1)πv0

L为v＝ωr＝

πv0

，则圆盘转动角速度的最小值为，故C项错误；P点随圆盘转动的线速度

L(2k＋1)πgL4v0

5πgL，当k＝2时，v＝，故D项正确。

4v0

答案 AD

8．如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚要发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是( )

A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中 B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中

C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中 D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中

解析 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力。因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，设此时手中的拉力为T，则对甲：fm－T＝mωR甲，对乙：T＋fm＝mωR乙。当松手时，T＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中。甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，D项正确。

答案 D

B组·能力提升题

9.某机器内有两个围绕各自固定轴匀速转动的铝盘A、B，A盘固定一个信号发射装置P，能持续沿半径向外发射红外线，P到圆心的距离为28 cm。B盘上固定一个带窗口的红外线信号接收装置Q，Q到圆心的距离为16 cm。P、Q转动的线速度均为4π m/s。当P、Q正对时，P发出的红外线恰好进入Q的接收窗口，如图所示，则Q每隔一定时间就接收到红外线信号，这个时间的最小值为( )

2

2

5

A．0.42 s C．0.70 s

B．0.56 s D．0.84 s

2πrP2π×0.282πrQ2π×0.16

解析 P的周期TP＝＝ s＝0.14 s，同理Q的周期TQ＝＝

v4πv4πs＝0.08 s，而经过最短时间应是它们周期的最小公倍数0.56 s，因此B项正确。

答案 B

10．(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r、RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )

A．此时绳子张力为3μmg B．此时圆盘的角速度为 2μg rC．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外

D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动

解析 两物体刚好要发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg，则有T－μmg＝mωr，T＋μmg＝mω·2r，解得T＝3μmg，ω＝ 2

2

2

2μg，

rA、B、C项正确；当烧断绳子时，A所需向心力为F＝mωr＝2μmg＞fm，fm＝μmg，所以A将发生滑动，D项错误。

答案 ABC

11.如图所示，一个大小可忽略、质量为m的模型飞机，在距水平地面高为h的水平面内以速率v绕圆心O做半径为R的匀速圆周运动。O′为圆心O在水平地面上的投影点。某时刻该飞机上有一小螺丝掉离飞机，不计空气对小螺丝的作用力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )

6

A．飞机处于平衡状态

v2

B．空气对飞机的作用力大小为m

RC．小螺丝第一次落地点与O′点的距离为D．小螺丝第一次落地点与O′点的距离为2hv2

g2hv＋R

2

2

g

解析 模型飞机做匀速圆周运动，合外力不为零，不是平衡状态，A项错误；飞机的合

mv2

外力为，则空气对飞机的作用力F＝

R12

有h＝gt，x＝vt，整理得x＝v

2＝

2hv2

2

m2v4

mg＋2，B项错误；小螺丝掉落后做平抛运动，

R22

2h22

，则小螺丝第一次落地点与O′点的距离s＝x＋Rgg＋R，C项正确，D项错误。

答案 C

12. (多选)如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，A、B与转台的动摩擦因数都为μ，A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )

A．当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为 B．当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为

k m2k 3m 7

C．当B刚好要滑动时，转台转动的角速度为 D．当A刚好要滑动时，转台转动的角速度为

kμg＋ 2m2r2k2μg＋ 3m3r2

解析 当B受到的摩擦力为0时，则k(2.5r－1.5r)＝2mω·r，解得ω＝项错误；当A受到的摩擦力为0时，k(2.5r－1.5r)＝mω·1.5r，解得ω＝ 正确；当B刚好要滑动时，此时k(2.5r－1.5r)＋μ·2mg＝2mω·r，解得ω＝

2

2

2

k，A2m2k，B项3mkμg＋，2mrC项错误；当A刚好要滑动时，则k(2.5r－1.5r)＋μ·mg＝mω·1.5r，解得ω＝

2k2μg＋，D项正确。 3m3r答案 BD

13．某学生设计并制作了一个简易水轮机，如图所示，让水从水平放置的水管流出，水流轨迹与下边放置的轮子边缘相切，水冲击轮子边缘上安装的挡水板，可使轮子连续转动。当该装置工作稳定时，可近似认为水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度相同。调整轮轴O的位置，使水流与轮边缘切点对应的半径与水平方向成θ＝37°角。测得水从管口流出速度v0＝3 m/s，轮子半径R＝0.1 m。(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s)求：

2

(1)若不计挡水板的大小，则轮子转动角速度为多少。 (2)水管出水口距轮轴O水平距离和竖直距离h。

解析 (1)水从管口流出后做平抛运动，设水流到达轮子边缘的速度大小为v，所以

v＝＝5 m/s， ①

sin37°

v0

由题意可得轮子边缘的线速度为

v′＝5 m/s， ②

所以轮子转动的角速度为 ω＝

v′

＝50 rad/s。 ③ R(2)设水流到达轮子边缘的竖直分速度为vy，运动时间为t，水平、竖直分位移分别为

sx、sy，则

8

vy＝v0cot37°＝4 m/s， ④ vyt＝＝0.4 s， ⑤

gsx＝v0t＝1.2 m， ⑥ sy＝gt2＝0.8 m， ⑦

水管出水口距轮轴O水平距离l和竖直距离h为

12

l＝sx－Rcos37°＝1.12 m， ⑧ h＝sy＋Rsin37°＝0.86 m。 ⑨

答案 (1)50 rad/s (2)1.12 m 0.86 m

14.如图所示，M是水平放置的半径足够大的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，规定经过圆心O水平向右为x轴的正方向。在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，从t＝0时刻开始随传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为

v。已知容器在t＝0时刻滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴一滴水。

求：

(1)每一滴水经多长时间落到盘面上。

(2)要使每一滴水在盘面上的落点都位于同一直线上，圆盘转动的角速度ω应为多大。 (3)第二滴水与第三滴水在盘面上落点间的最大距离x。 解析 (1)水滴在竖直方向上做自由落体运动，有 12

h＝gt2，

解得t＝

2h。

g(2)分析题意可知，在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的角度应为nπ(n＝1、2、3、…)，所以角速度可由ωt＝nπ得

ω＝

nπ

＝nπ tg(n＝1、2、3、…)。 2h2h，

(3)第二滴水落在圆盘上时到O点的距离为

x2＝v·2t＝2v g第三滴水落在圆盘上时到O点的距离为

x3＝v·3t＝3v

2h，

g9

当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心两侧时，两点间的距离最大，则

x＝x2h2＋x3＝5vg。

答案 (1)2hg (2)nπ g2h(n＝1、2、3、…) (3)5v2hg

10