【成才之路】2015-2016学年高中数学 第2章 4导数的四则运算法
则课时作业 北师大版选修2-2
一、选择题
1．已知f(x)＝x＋2x·f′(1)，则f′(0)等于( ) A．2 C．－4 [答案] C
[解析] f′(x)＝2x＋2f′(1)，于是f′(1)＝2＋2f′(1)，则f′(1)＝－2， 故得f′(x)＝2x－4，因此f′(0)＝－4.故选C．
2．曲线y＝x＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( ) A．－9 C．9 [答案] C
[解析] 本题考查导数几何意义，求导公式等知识．导数基本运算及应用是每年必考内容．
由y＝x＋11知y′＝3x，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0易知选C．
ππ3．(2014·山师附中高二期中)设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f ′()
44＝( )
A．2 C．0 [答案] A
[解析] ∵f ′(x)＝cosx＋sinx， πππ
∴f ′()＝cos＋sin＝2，故选A．
4444．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝( ) A．e ln2
C． 2[答案] B
2
3
2
3
2
B．－2 D．0
B．－3 D．15
B．－2 D．2 2
B．e D．ln2
[解析] 因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2， 所以lnx0＝1，即x0＝e.故选B.
5．若函数y＝x·2且y′＝0，则x的值为( ) 1
A．－
ln 2C．－ln 2 [答案] A
1xx[解析] y′＝2＋x·2ln 2，由y′＝0，得x＝－. ln 2二、填空题
6．(2014·杭州质检)若f(x)＝x－2x－4lnx，则f ′(x)>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)
42
[解析] 由f(x)＝x－2x－4lnx，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝2x－2－＝2
x1
B． ln 2D．ln 2
x2x－2x－4x－x－2?x＋1??x－2?
＝2·＝2·，f ′(x)>0，解得x>2，故f ′(x)>0的
22
xxx解集为(2，＋∞)．
1
7．已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________．
42[答案] 1
111
[解析] 已知曲线y＝的一条切线的斜率为，令y′＝x＝，则x＝1，即切点的横
4222坐标为1.
8．(2014·江西理，13)若曲线y＝e上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点
－xx2
x2
P的坐标是________．
[答案] (－ln2,2)
[解析] 依题意，设P点为(x0，y0)，又y′＝－e， 所以y′|x＝x0＝－e－x0＝－2， 解得x0＝－ln2，y0＝2，即P(－ln2,2)． 三、解答题
9．若函数f(x)＝x－sincos的导数为g(x)，求函数g(x)的最小值． 22
－xxxxx11
[解析] 由于f′(x)＝(x－sincos)′＝(x－sinx)′＝1－cosx，
2222
1
所以g(x)＝1－cosx，又－1≤cosx≤1，
2
故函数g(x)的最小值等于1
2
.
10．已知曲线C：y＝3x4
－2x3
－9x2
＋4. (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线的方程； (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？ [解析] (1)把x＝1代入C的方程，求得y＝－4， ∴ 切点为(1，－4)，y′＝12x3
－6x2
－18x， ∴切线斜率为k＝12－6－18＝－12.
∴切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x＋8.
??y＝3x4
－2x3
－9x2
(2)由?
＋4，?
?
y＝－12x＋8
得3x4
－2x3
－9x2＋12x－4＝0， ∴(x－1)2
(x＋2)(3x－2)＝0， ∴x＝1，－2，23
. 代入y＝3x4
－2x3
－9x2
＋4， 求得y＝－4,32,0，
即公共点为(1，－4)(切点)，(－2,32)，(2
3，0).
∴除切点外，还有两个交点(－2,32)、(2
3
，0).
一、选择题
1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝( A．e－1
B．－1 C．－e－1 D．－e
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋111
x，∴f′(e)＝2f′(e)＋e，解得f′(e)＝－e.故选C．
2．若函数f(x)＝exsin x，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( A．π
2 B．0 C．钝角 D．锐角
[答案] C
) )
πxx44
[解析] y′|x＝4＝(esinx＋ecos x)|x＝4＝e(sin 4＋cos 4)＝2esin(4＋)<0，故
4倾斜角为钝角．故选C．
3．(2014·山师附中高二期中)直线y＝kx＋1与曲线y＝x＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为( )
A．2 C．1 [答案] C
[解析] 由条件知，点A在直线上，∴k＝2，又点A在曲线上，∴a＋b＋1＝3，∴a＋b＝2.由y＝x＋ax＋b得y′＝3x＋a，∴3＋a＝k，∴a＝－1，∴b＝3，∴2a＋b＝1.
4
4.已知点P在曲线y＝x上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围
e＋1是( )
π
A．[0，)
4π3πC．(，]
24[答案] D
[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式 4e解析：y′＝－x2
?e＋1?
4e4e4
∴tanα＝－x＝－ 2＝－x2x?e＋1??e?＋2e＋11xe＋x＋2
e1xx∵e＞0∴e＋x ≥2(当且仅当x＝0时取等号)
e14x∴e＋x＋2≥4，∴0＜≤1
e1xe＋x＋2
e∴－1≤tanα＜0
3
∵α∈[0，π)，∴α∈[π，π)，故选D
4二、填空题
5．已知P、Q为抛物线x＝2y上两点，点P、Q的横坐标分别为4、－2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
[答案] －4
[解析] 本题考查导数的几何意义．
2
3
2
3
B．－1 D．－2
ππB．[，)
423π
D．[，π)
4
xxx