⑴q是指从第2项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即q =
an?1an (n?N?)
或q =
an (n≥2)． an?1an?1an⑵由定义可知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q也不为0． ⑶要证明一个数列是等比数列，必须对任意n?N?，= q；或
an= q (nan?1≥2)都成立．
2．等比中项与等差中项的主要区别
Gb如果G是a与b的等比中项，那么=，即G2= ab，G =±ab．所以，
aG只要两个同号的数才有等比中项，而且等比中项有两个，它们互为相反数；如果
a?bA是a与b的等差中项，那么等差中项A唯一地表示为A=，其中，a与b
2没有同号的限制．在这里，等差中项与等比中项既有数量上的差异，又有限制条件的不同．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为qm( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n?N?，在等比数列{ an}中有：an= am· qn?m，特别地，当m = 1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性． ⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等)，那么当{an}为等比数列时，有：at．ak．ap．… = am．an．ap．… ．．
⑷若{ an}是公比为q的等比数列，则{| an|}、{a2n}、{kan}、{
1}． q1}也是等an比数列，其公比分别为| q |}、{q2}、{q}、{
⑸如果{ an}是等比数列，公比为q，那么，a1，a3，a5，…，a2n?1，…是以q2为公比的等比数列．
2⑹如果{ an}是等比数列，那么对任意在n?N?，都有an·an?2= a2·q＞0． n⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个
数列的公比的积．
⑻当q＞1且a1＞0或0＜q＜1且a1＜0时，等比数列为递增数列；当a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1时，等比数列为递减数列；当q = 1时，等比数列为常数列；当q＜0时，等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式Sn的基本性质
⑴如果数列{an}是公比为q 的等比数列，那么，它的前n项和公式是
?na1,当q?1时,?Sn=?a1(1?qn)
,当q?1时.?1?q?也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函
数值，分段的界限是在q = 1处．因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q = 1和q≠1进行讨论．
a1(1?qn)⑵当已知a1，q，n时，用公式Sn=；当已知a1，q，an时，用
1?q公式Sn=
a1?anq．
1?q⑶若Sn是以q为公比的等比数列，则有Sn?m= Sm＋qSn．⑵
⑷若数列{ an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列．
二、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ an}与an是不同的，前者表示
数列a1，a2，…，an，…，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，…，an，…，与集合{ a1，a2，…，an，…，}不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq?2， aq?1， a，aq，aq2，…；
⑵对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设…，aq?3， aq?1， aq，aq3，…．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意an≠0，因为当an= 0时，虽有a2 an?1成立，但{an}n= an?1·不是等比数列，即“b2= a · c”是a、b、 c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{an}，“2b = a + c”是a、b、 c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q = 1和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
数列基础知识定时练习题
（满分为100分+附加题20分，共120分；定时练习时间120分钟）
一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列四个数中，哪一个是数列{n(n?1)}中的一项 （ ）
（A）380 （B）39 （C）35 （D）23 2．在等差数列{an}中，公差d?1，a4?a17?8，则a2?a4?a6???a20的值为（ ） （A）40 （B）45 （C）50 （D）55 3．一套共7册的书计划每2年出一册，若各册书的出版年份数之和为13979，则出齐这套
书的年份是（ ）
（A）1997 （B）1999 （C）2001 （D）2003
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且
中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）6 5．已知1是a2与b2的等比中项，又是
121211a?b与的等差中项，则22的值是（ ） aba?b （A）1或 （B）1或? （C）1或 （D）1或? 6．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d的取值范围是（ ）
（A）d? （B）d?3 （C）≤d?3 （D）?d≤3 7．如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么（ ）
（A）b=3,ac=9
(B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
83838313138．在等差数列｛an｝中，已知a1=2,a2+a3=13，则a4+a5+a6等于（ ） A.40 B.42 C.43 D.45
9．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）
A.5 B.4 C. 3 D. 2
10．若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a?3b?c?10，则a?（ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
11．在等比数列｛an｝中，a1＝1，a10＝3，则a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 = （ ） A. 81 B. 27527 C.
3 D. 243
12． 在等比数列?an?中,a1?2,前n项和为Sn,若数列?an?1?也是等比数列,则Sn等于（ ）
(A)2n?1?2 (B) 3n (C) 2n (D)3n?1
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
a1a2a3?80，13．设?an?是公差为正数的等差数列，若a1?a2?a3?15，则a11?a12?a13?（ ）
A．120 B．105 C．90 D．75 14．设Sn是等差数列?an?的前n项和，若S7?35，则a4?（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5