高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳非常全 下载本文

an??an?2an?1??2?an?1?2an?2??L?2n?2?a2?2a1??2n?1a1??n?1??2n?1

此题重点考查数列的递推公式,利用递推公式求数列的特定项,通项公式等.推移脚标,两式相减是解决含有Sn的递推公式的重要手段,使其转化为不含Sn的递推公式,从而有针对性地解决问题.在由递推公式求通项公式时,首项是否可以被吸收是易错点.同时,还应注意到题目设问的层层深入,前一问常为解决后一问的关键环节,为求解下一问指明方向.

2例13 数列?an?满足a1?0,a2?2,an?2?(1?cosn?n?)an?4sin2,n?1,2,3,L,22(I)求a3,a4,并求数列?an?的通项公式;(II)设Sk?a1?a3?L?a2k?1,

Tk?a2?a4?L?a2k, Wk?南卷第20题)

略解:(I)

2Sk(k?N?),求使Wk?1的所有k的值,并说明理由.(湖2?Tka3?(1?cos2?2)a1?4sin2??2?a1?4?4,a4?(1?cos2?)a2?4sin2??2a2?4,一般地, 当n=2k?1(k?N)时,

a2k?1?[1?cos2(2k?1)?(2k?1)?]a2k?1?4sin2?a2k?1?4,即a2k?1?a2k?1?4. 22所以数列?a2k?1?是首项为0、公差为4的等差数列,因此a2k?1?4(k?1).当

n=2k(k?N?)时,a2k?2?(1?cos22k?2k?)a2k?4sin2?2a2k,所以数列?a2k?是首项22k为2、公比为2的等比数列,因此a2k?2.故数列?an?的通项公式为

?2(n?1),n?2k?1(k?N?),?an??n

?2??2,n?2k(k?N).(II)由(I)知,

Sk?a1?a3?L?a2k?1=

0?4?L?4(k?1)?2k(k?1),2Skk(k?1)?. 2?Tk2k?1Tk?a2?a4?L?a2k2?22?L2k?2k?1?2,Wk?于是,W1?0,W2?1,W3?下面证明:

33515,W4?,W5?,W6?. 22416k?6时,Wk?1.事实上, 当k?6时,

Wk?1?Wk?(k?1)kk(k?1)k(3?k)?k?1??0,即Wk?1?Wk.又W6?1,所以当k?6时,kk222Wk?1.故满足Wk?1的所有k的值为3,4,5.

数列知识点回顾

第一部分:数列的基本概念 1.理解数列定义的四个要点

⑴数列中的数是按一定“次序”排列的,在这里,只强调有“次序”,而不强调有“规律”.因此,如果组成两个数列的数相同而次序不同,那么它们就是不同的数列.

⑵在数列中同一个数可以重复出现.

⑶项an与项数n是两个根本不同的概念.

⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,但函数不一定是数列.

2.数列的通项公式

一个数列{ an}的第n项an与项数n之间的函数关系,如果用一个公式an=f(n)来表示,就把这个公式叫做数列{ an}的通项公式。若给出数列{ an}的通项公式,则这个数列是已知的。若数列{ an}的前n项和记为Sn,则Sn与ann?1?S1,的关系是:an=?。

?Sn?Sn?1.n?2第二部分:等差数列

1.等差数列定义的几个特点:

⑴公差是从第一项起,每一项减去它前一项的差(同一常数),即d = an-an?1(n≥2)或d = an?1-an (n?N?).

⑵要证明一个数列是等差数列,必须对任意n?N?,an-an?1= d (n≥2)或d = an?1-an都成立.一般采用的形式为:

① 当n≥2时,有an-an?1= d (d为常数). ②当n?N?时,有an?1-an= d (d为常数). ③当n≥2时,有an?1-an= an-an?1成立.

若判断数列{ an}不是等差数列,只需有a3-a2≠a2-a1即可. 2.等差中项

若a、A、b成等差数列,即A=

a?ba?b,则A是a与b的等差中项;若A=,22则a、A、b成等差数列,故A=于an=

a?b是a、A、b成等差数列,的充要条件。由2an?1?an?1,所以,等差数列的每一项都是它前一项与后一项的等差中项。 23.等差数列的基本性质 ⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.

⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.

⑶若{ an}、{ bn}为等差数列,则{ an±bn}与{kan+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

⑷对任何m、n?N?,在等差数列{ an}中有:an= am+ (n-m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{an}为等差数列时,有:al+ ak+ ap+ … = am+ an+ ap+ … .

⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差).

⑺如果{ an}是等差数列,公差为d,那么,an,an?1,…,a2、a1也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{ an}中,am?l-al= am?k-ak= md .(其中m、k、l?N?)

⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d<0时,等差数列中的数随项数的减少而减小;d=0时,等差数列中的数等于一个常数.

⑽设al,am,an为等差数列中的三项,且al与am,am与an的项距差之比

a??anl?m

=?(?≠-1),则am=l. m?n1??4.等差数列前n项和公式Sn=

前n项和公式 n(a1?an)n(n?1)d的比较 与Sn= na1+

22公式适用范围 相同点 n(a1?an)Sn= 2Sn= na1+n(n?1)d 2用于已知等差数列的首项和末项 都是等差数列的前n项和公式 用于已知等差数列的首项和公差 5.等差数列前n项和公式Sn的基本性质

⑴数列{ an}为等差数列的充要条件是:数列{ an}的前n项和Sn可以写成Sn= an2+ bn的形式(其中a、b为常数).

⑵在等差数列{ an}中,当项数为2n (n?N*)时,S偶-S奇= nd,S奇S偶=

an;an?1当项数为(2n-1) (n?N?)时,S偶-S奇= an,

S奇S偶=

n. n?1⑶若数列{ an}为等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍然成等差数列,公差为n2d.

⑷若两个等差数列{ an}、{ bn}的前n项和分别是Sn、Tn(n为奇数),则

Sn=2. Tnbn?12an?1⑸在等差数列{ an}中,Sn= a,Sm= b (n>m),则Sm?n=⑹等差数列{an}中,+ (a1-

d)上. 2n?m(a-b). n?mSnSd是n的一次函数,且点(n,n)均在直线y =x nn2⑺记等差数列{an}的前n项和为Sn.①若a1>0,公差d<0,则当an≥0且an?1≤0时,Sn最大;②若a1<0 ,公差d>0,则当an≤0且an?1≥0时,Sn最小.

第三部分:等比数列

1.正确理解等比数列的含义