高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳非常全 下载本文

如:Sn?1?2x?3x?4x?……?nx23n?1?1?

?2?

234n?1?nxn x·Sn?x?2x?3x?4x?……??n?1?x2n?1?nxn ?1???2?:?1?x?Sn?1?x?x?……?x x?1时,Sn1?x?nx???nn?1?x?21?x

x?1时,Sn?1?2?3?……?n?n?n?1?2

4、倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

Sn?a1?a2?……?an?1?an???相加

Sn?an?an?1?……?a2?a1?? 2Sn??a1?an???a2?an?1??……??a1?an?…… [练习]

x2?1??1??1?已知f(x)?,则f(1)?f(2)?f?f(3)?f?f(4)?f????????2??3??4?1?x22

x?1?? (由f(x)?f????x?1?x2x21???1 2221?x1?x?1?1????x??1????x?2 ∴原式?f(1)??f(2)?f?????f(3)?f?????f(4)?f???

?????????1???2???1???3???1??4? ?11?1?1?1?3)22

例1设{an}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{an}前8项的和为( )

A.128 B.80 C.64 D.56 (福建卷第3题)

略解:∵ a2 +a7= a1+a8=16,∴{an}前8项的和为64,故应选C.

例2 已知等比数列{an}满足a1?a2?3,a2?a3?6,则a7?( ) A.64

答案:A.

B.81

C.128

D.243 (全国Ⅰ卷第7题)

例3 已知等差数列?an?中,a2?6,a5?15,若bn?a2n,则数列?bn?的前5项和等于( )

A.30 B.45 C.90 D.186 (北京卷第7题)

略解:∵a5-a2=3d=9,∴ d=3,b1=a2?6,b5=a10=30,?bn?的前5项和等于90,故答案是C.

例4 记等差数列的前n项和为Sn,若S2?4,S4?20,则该数列的公差d?( )

A.2 B.3 C.6 D.7 (错误!未找到引用源。第4题) 略解:∵S4?S2?S2?4d?12,d?3,故选B. 例5在数列{an}中,an?4n?52*,a1?a2?L?an?an?bn,n?N,其中a,b为2常数,则ab? .(安徽卷第15题)

答案:-1.

例6 在数列{an}中,a1?2, an?1?an?ln(1?),则an?( )

A.2?lnn B.2?(n?1)lnn

C.2?nlnn D.1?n?lnn(江西卷第5题) 答案:A.

例7 设数列?an?中,a1?2,an?1?an?n?1,则通项an? ___________.(四川卷第16题)

此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式,抓住an?1?an?n?1中an?1,an系数相同是找到方法的突破口.

略解:∵a1?2,an?1?an?n?1 ∴an?an?1??n?1??1,an?1?an?2??n?2??1,

1nan?2?an?3??n?3??1,K,a3?a2?2?1,a2?a1?1?1,a1?2?1?1.将以上各式相

加,得an????n?1???n?2???n?3??L?2?1???n?1应填

n?1?nn?n?1????n?1??1,故

22n(n?1)+1. 21n4

例8 若(x+)的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x项的系数为

2x( )

A.6 B.7 C.8 D.9 (重庆卷第10题) 答案:B.

使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题,充分考虑到文、理科考生在能力上的差异,侧重于基础知识和基本方法的考查,命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主,如,例4以前的例题.例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解;例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力;例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用.重庆卷第1题,浙江卷第4

题,陕西卷第4题,天津卷第4题,上海卷第14题,全国Ⅱ卷第19题等,都是关于数列的客观题,可供大家作为练习.

例9 已知{an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an,an?1)(n?N*)在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2n,求证:bn·bn+2<b2n+1. (福建卷第20题) 略解:(Ⅰ)由已知,得an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为1的等差数列.故an=1+(n-1)×1=n.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=n,从而bn+1-bn=2n,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2+…

nn+2

+2+1=2n-1.∵. bn?bn+2-b2-1)-(2n+1-1)2= -2n<0, ∴ bn·bn+2<b2n?1=(2-1)(2n?1.

a对于第(Ⅱ)小题,我们也可以作如下的证明:

nn+1n+1

∵ b2=1,bn·bn+2- b2)- b2·bn+1-2n·bn+1-2n·2n+1=2n(bn+1-2n+1)n?1=(bn+1-2)(bn+1+2n?1=2

=2n(bn+2n -2n+1)=2n(bn-2n)=…=2n(b1-2)=-2n<0,∴ bn-bn+2

n例10 在数列?an?中,a1?1,an?1?2an?2.(Ⅰ)设bn?an.证明:数列?bn?n?12是等差数列;(Ⅱ)求数列?an?的前n项和Sn.(全国Ⅰ卷第19题)

an?1anan?1?2an2n略解:(Ⅰ)bn?1?bn=n?n?1==n=1,则?bn?为等差数列,b1?1, n2222bn?n,an?n2n?1.

Sn?1g20?2g21?L?(n?1)g2n?2?ng2n?1.

,得

2Sn?1g21?2g22?L?(n?1)g2n?1?ng2nSn?ng2n?1g20?21?L?2n?1?ng2n?2n?1=(n?1)2n?1.

对于例10第(Ⅰ)小题,基本的思路不外乎推出后项减前项差相等,即差是一个常数.可以用迭代法,但不可由b2-b1=1,b3-b2=1等有限个的验证归纳得到?bn?为等差数列的结论,犯“以偏盖全”的错误.第(Ⅱ)小题的“等比差数列”,在高考数列考题中出现的频率很

高,求和中运用的“错项相减”的方法,在教材中求等比数列前n项和时给出,是“等比差数列”求和时最重要的方法.一般地,数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身,而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示.

例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型,类似的题目还有浙江卷第18题,江苏卷第19题,辽宁卷第20题等,其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列.主要考查等差数列、等比数列等基本知识,考查转化与化归思想,考查推理与运算能力.考虑到文、理科考生在能力上的差异,与理科试卷侧重于理性思维,命题设计时以一般数列为主,以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同;文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查,以考查具体思维、演绎思维为主.

a1?3,{bn}为等比数列, b1?1,例11 等差数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,

且b2S2?64,b3S3?960.(Ⅰ)求an与bn; (Ⅱ)求和:题)

111??L?.(江西卷第19S1S2Sn?S2b2?(6?d)q?64,{a}{b}d略解:(Ⅰ)设n的公差为,n的公比为q,依题意有?2?S3b3?(9?3d)q?960.6?d??,?d?2,??5(舍去,为什么?)故a?3?2(n?1)?2n?1,b?8n?1.

解之,得?或?nnq?8;40??q?.?3?(

Sn?3?5?L?(2n?1)?n(n?2),∴

1111111??L?????L?S1S2Sn1?32?43?5n(n?2)111111?(1??????23243532n?3111111. L??)?(1???)??42(n?1)(n?2)nn?222n?1n?2“裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法.

使用解答题形式考查数列的试题,其内容还往往是一般数列的内容,其方法是研究数列通项及前n项和的一般方法,并且往往不单一考查数列,而是与其他内容相综合,以体现出对解决综合问题的考查力度.数列综合题对能力有较高的要求,有一定的难度,对合理区分较高能力的考生起到重要的作用.

n例12 设数列?an?的前n项和为Sn?2an?2,(Ⅰ)求a1,a4;(Ⅱ)证明: ?an?1?2an?是等比数列;(Ⅲ)求?an?的通项公式.(四川卷第21题)

n略解:(Ⅰ)∵a1?S1,2a1?S1?2,所以a1?2,S1?2.由2an?Sn?2知,

2an?1?Sn?1?2n?1

?an?1?Sn?2n?1,

得,

an?1?Sn?2n?1 ①,

∴a2?S1?22?2?22?6,S2?8a3?S2?23?8?23?16,S3?24a4?S3?24?40.

(Ⅱ)由题设和①式知,an?1?2an?Sn?2n?1?Sn?2n?2n?1?2n?2n,∴

?????an?1?2an?是首项为2,公比为2的等比数列.

(Ⅲ)