高三复习数列知识点和经典试题的解题方法归纳非常全 下载本文

数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质

定义:an?1?an?d(d为常数),an?a1??n?1?d 等差中项:x,A,y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d

性质:?an?是等差数列

(1)若m?n?p?q,则am?an?ap?aq;

(2)数列?a2n?1?,?a2n?,?kan?b?仍为等差数列; Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等差数列;

(3)若三个数成等差数列,可设为a?d,a,a?d; (4)若an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,则amS2m?1?; bmT2m?12 (5)?an?为等差数列?Sn?an?bn(a,b为常数,是关于n的常数项为

0的二次函数)

2 Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值;或者求出?an?中的正、负分界

项,即:

当a1?0,d?0,解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。

?an?1?0?an?0 当a1?0,d?0,由?可得Sn达到最小值时的n值。

a?0?n?1 如:等差数列?an?,Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1,则n? (由an?an?1?an?2?3?3an?1?3,∴an?1?1

又S3??a1?a3?·3?3a22?1,∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ?n?27) ∴Sn?222二、等比数列的定义与性质 定义:an?1?q(q为常数,q?0),an?a1qn?1 an2 等比中项:x、G、y成等比数列?G?xy,或G??xy

?na1(q?1)? 前n项和:Sn??a11?qn(要注意!)

(q?1)??1?q?? 性质:?an?是等比数列

(1)若m?n?p?q,则am·an?ap·aq (2)Sn,S2n?Sn,S3n?S2n……仍为等比数列 三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、由Sn求an;(n?1时,a1?S1,n?2时,an?Sn?Sn?1) 3、求差(商)法

111a1?2a2?……?nan?2n?52221 解:n?1时,a1?2?1?5,∴a1?14

2111 n?2时,a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5222 如:?an?满足?1?

?2?

?14(n?1)1n?1 ?1???2?得:nan?2,∴an?2 ,∴an??n?1

22(n?2)?[练习]

数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1,a1?4,求an 3Sn?1?4 Sn (注意到an?1?Sn?1?Sn代入得:n 又S1?4,∴?Sn?是等比数列,Sn?4

n?2时,an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

4、叠乘法

例如:数列?an?中,a1?3,an?1n?,求an ann?1 解:

a2aaa12n?11·3……n?·……,∴n? a1a2an?123na1n 又a1?3,∴an? 5、等差型递推公式

3 n 由an?an?1?f(n),a1?a0,求an,用迭加法

n?2时,a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加,得:

…………?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) [练习]

n?1 数列?an?,a1?1,an?3?an?1?n?2?,求an

(an?1n3?1) 2?? 6、等比型递推公式

an?can?1?dc、d为常数,c?0,c?1,d?0 可转化为等比数列,设an?x?c?an?1?x?

???an?can?1??c?1?x

令(c?1)x?d,∴x? ∴?an?d c?1??d?d是首项为a?,c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1 ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1dc? ??c?1c?1 ∴an??a1?[练习]

数列?an?满足a1?9,3an?1?an?4,求an

?4? (an?8????3? 7、倒数法

n?1?1)

例如:a1?1,an?1?2ana?2111,求an ,由已知得:?n??

an?2an?12an2an ∴1an?1??1?1111? , ???为等差数列,?1,公差为 an2a12?an? ?1112?1??n?1?·??n?1? ,∴an? an22n?1三、 求数列前n项和的常用方法

1、公式法:等差、等比前n项和公式

2、裂项法:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 如:?an?是公差为d的等差数列,求1 ?k?1akak?1n解:由111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?nn11?11????? ∴??

aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

?11??11??11?1????????????……?????d??a1a2??a2a3??anan?1??1?11?????d?a1an?1?

[练习] 求和:1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1) n?1 (an?……?……,Sn?2? 3、错位相减法:

若?an?为等差数列,?bn?为等比数列,求数列?anbn?(差比数列)前n项

和,可由Sn?qSn求Sn,其中q为?bn?的公比。