数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质

定义：an?1?an?d(d为常数)，an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y

前n项和Sn??a1?an?n?na21?n?n?1?2d

性质：?an?是等差数列

（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；

（2）数列?a2n?1?，?a2n?，?kan?b?仍为等差数列； Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列；

（3）若三个数成等差数列，可设为a?d，a，a?d； （4）若an，bn是等差数列Sn，Tn为前n项和，则amS2m?1?； bmT2m?12 （5）?an?为等差数列?Sn?an?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为

0的二次函数）

2 Sn的最值可求二次函数Sn?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界

项，即：

当a1?0，d?0，解不等式组??an?0可得Sn达到最大值时的n值。

?an?1?0?an?0 当a1?0，d?0，由?可得Sn达到最小值时的n值。

a?0?n?1 如：等差数列?an?，Sn?18，an?an?1?an?2?3，S3?1，则n? （由an?an?1?an?2?3?3an?1?3，∴an?1?1

又S3??a1?a3?·3?3a22?1，∴a2?1 3?1???1?na1?an?n?a2?an?1?·n?3?????18 ?n?27） ∴Sn?222二、等比数列的定义与性质 定义：an?1?q（q为常数，q?0），an?a1qn?1 an2 等比中项：x、G、y成等比数列?G?xy，或G??xy

?na1(q?1)? 前n项和：Sn??a11?qn（要注意!）

(q?1)??1?q?? 性质：?an?是等比数列

（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列 三、求数列通项公式的常用方法

1、公式法

2、由Sn求an；（n?1时，a1?S1，n?2时，an?Sn?Sn?1） 3、求差（商）法

111a1?2a2?……?nan?2n?52221 解：n?1时，a1?2?1?5，∴a1?14

2111 n?2时，a1?2a2?……?n?1an?1?2n?1?5222 如：?an?满足?1?

?2?

?14(n?1)1n?1 ?1???2?得：nan?2，∴an?2 ，∴an??n?1

22(n?2)?［练习］

数列?an?满足Sn?Sn?1?5an?1，a1?4，求an 3Sn?1?4 Sn （注意到an?1?Sn?1?Sn代入得：n 又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4

n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1

4、叠乘法

例如：数列?an?中，a1?3，an?1n?，求an ann?1 解：

a2aaa12n?11·3……n?·……，∴n? a1a2an?123na1n 又a1?3，∴an? 5、等差型递推公式

3 n 由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法

n?2时，a2?a1?f(2)??a3?a2?f(3)? ?两边相加，得：

…………?an?an?1?f(n)?? an?a1?f(2)?f(3)?……?f(n) ∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n) ［练习］

n?1 数列?an?，a1?1，an?3?an?1?n?2?，求an

（an?1n3?1） 2?? 6、等比型递推公式

an?can?1?dc、d为常数，c?0，c?1，d?0 可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x?

???an?can?1??c?1?x

令(c?1)x?d，∴x? ∴?an?d c?1??d?d是首项为a?，c为公比的等比数列 ?1c?1?c?1 ∴an?dd??n?1??a1??·c c?1?c?1???d?n?1dc? ??c?1c?1 ∴an??a1?［练习］

数列?an?满足a1?9，3an?1?an?4，求an

?4? （an?8????3? 7、倒数法

n?1?1）

例如：a1?1，an?1?2ana?2111，求an ，由已知得：?n??

an?2an?12an2an ∴1an?1??1?1111? ， ???为等差数列，?1，公差为 an2a12?an? ?1112?1??n?1?·??n?1? ，∴an? an22n?1三、 求数列前n项和的常用方法

1、公式法：等差、等比前n项和公式

2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 如：?an?是公差为d的等差数列，求1 ?k?1akak?1n解：由111?11???????d?0?

ak·ak?1ak?ak?d?d?akak?1?nn11?11????? ∴??

aadaa?k?1kk?1k?1kk?1?

?11??11??11?1????????????……?????d??a1a2??a2a3??anan?1??1?11?????d?a1an?1?

［练习］ 求和：1?111??……? 1?21?2?31?2?3?……?n1） n?1 （an?……?……，Sn?2? 3、错位相减法：

若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项

和，可由Sn?qSn求Sn，其中q为?bn?的公比。