第23讲抽屉原理(二) 【培训提示】

1．更灵活地构建“苹果\和“抽屉\。 2．利用抽屉原理创造性地解决问题。

上一讲我们讲了抽屉原理的基本原理，已经有了初步的概念，这一讲我们将在此基础上，进一步灵活地运用抽屉原理，来解决一些较复杂和棘手的问题。本章节中有一些题目看起来无从下手，那就试试从抽屉原理的角度来思考吧，说不定有一些意外的惊喜哟! 【培训示例】

例1在长200米公路的一侧种树，不管怎么种，都要保证其中至少有两棵树的距离不大于5米，问至少要种多少棵树?

例2从1、2、3?10这10个数中，任取6个数，说明：其中必有2个数，它们的和是ll。

例3在边长为l的正三角形中，要至少放人多少个点，才能保证其中必有两个点的距离不大于

1? 2

例4在边长为l的正方形内，任意放人9个点，试说明：其中必有3个点，它们构成的三角形面积不大于

1。 8

例5一天晚上，小华和当数学老师的爸爸一起来到电影院看《精灵鼠小弟》。他们找到位置坐好后，电影还没开始。爸爸出了一道题来考小华：在来看电影的这么多观众中(具体人数未知，但大约有几百人)，一定有三个观众互相认识或互相都不认识。小华答不上来，你能帮帮他吗?

例6把1、2、3、4?10这十个自然数按任意顺序排成一圈。求证：在这一圈中，一定有相邻的三个数之和不小于l7。

例7 从1、2、3?2005个这2005个自然数中最多可以取出多少个数来，使得这些数中任意两个数的差都不等于9？

例8求证：对于任意的8个不同自然数，一定能从中找到6个数a、b、C、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f)是105的倍数。(做减法时是用大数减小数)

【培训检测】 练习二十三

1．在1、2、3、4?13、14这14个数中至少应取多少个数，就能保证其中必有两个数，它们的和为l5？

2．从l、3、5?27、29这15个奇数中，任意取几个数，就能保证其中一定有两个数的和是32？

3．在一个边长为1的正三角形内，至少放入多少个点，才能保证必有两个点之间的距离不大于

1? 3

4．在长与宽分别为8和9的长方形中任意放置7个点。试证明：其中至少有两个点之间的距离不大于5。(提示：在直角三角形中，如果两条直角边分别是3和4，则斜边长为5。)

5．要保证在半径为l的圆内(包括周界)必有两点，这两个点间的距离不大于l，那么至少要放置多少个点?

6．证明：把1、2、3?这30个数随意地摆成一圈，则一定存在3个相邻的数，它们的和不小于47。

7．证明：在1、2、3?1000中任意取ll个数，则一定有两个数相除的商不大于2。

8．五(六)班有30人，共有436本课外书，每个同学都至少有一本，试说明至少有两个同学的课外书的本数是一样的。

9．将一个正方形分成如下页图那样的8×8的小格，将1、2和3这三个数字分别任意地填满每个小格，不能留下空格，然后先求出每行8个小格内数的和，再求出每列8个数的和，最后求出两条对角线上数字的和。试问：不论如何填法，能否肯定这些“和数”中一定有相同的数，并说明理由。

10．证明：对于任意的7个数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。 11．在1、2、3?100这100个整数中至少要取多少个数，才能保证其中必有一个数是另一个的倍数?

12．求证：对于任意的6个不同自然数，一定能从中找到4个数：a、b、c、d，使得(a一b)(c—d)是15的倍数。(做减法时是用大数减小数)

13．小明在同学们中间表演一个数学小魔术：请一个同学任意写出8个自然数，然后他适当调整一下8个数的顺序，再在8个数中间添上“一”、“×”、“( )”三种符号就可使运算的结果被210整除。请说说他这个魔术的窍门在哪里?