速运动的过程中(如图9－9所示)，A、B之间无摩擦力作用．

图9－9

2．如图9－10所示，一对滑动摩擦力做的总功一定为负值，其绝对值等于摩擦力乘以相对滑动的总路程或等于摩擦产生的热量，与单个物体的位移无关，即Q摩＝f·s相．

图9－10

●例3 质量为M的均匀木块静止在光滑的水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同的步枪和子弹的射击手．首先左侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d1，然后右侧的射击手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d2，如图9－11所示．设子弹均未射穿木块，且两子弹与木块之间的作用力大小均相同．当两颗子弹均相对木块静止时，下列说法正确的是(注：属于选修3－5模块)( )

图9－11

A．最终木块静止，d1＝d2 B．最终木块向右运动，d1d2

【解析】木块和射出后的左右两子弹组成的系统水平方向不受外力作用，设子弹的质量为m，由动量守恒定律得：

mv0－mv0＝(M＋2m)v

解得：v＝0，即最终木块静止

设左侧子弹射入木块后的共同速度为v1，有： mv0＝(m＋M)v1

11

Q1＝f·d1＝mv02－(m＋M)v12

22

2

mMv0

解得：d1＝

2(m＋M)f

对右侧子弹射入的过程，由功能原理得：

11

Q2＝f·d2＝mv02＋(m＋M)v12－0

22

2

(2m＋mM)v02

解得：d2＝ 2(m＋M)f

即d1＜d2． [答案] C

【点评】摩擦生热公式可称之为“功能关系”或“功能原理”的公式，但不能称之为“动能定理”的公式，它是由动能定理的关系式推导得出的二级结论．

三、含弹簧的物理模型

纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重．高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，几乎贯穿了整个力学的知识体系．为了帮助同学们掌握这类试题的分析方法，现将有关弹簧问题分类进行剖析．

对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件．因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题老师的青睐．如2009年高考福建理综卷第21题、山东理综卷第22题、重庆理综卷第24题，2008年高考北京理综卷第22题、山东理综卷第16题和第22题、四川延考区理综卷第14题等．题目类型有：静力学中

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的弹簧问题，动力学中的弹簧问题，与动量和能量有关的弹簧问题．

1．静力学中的弹簧问题

(1)胡克定律：F＝kx，ΔF＝k·Δx．

(2)对弹簧秤的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力，弹簧秤的示数一定等于挂钩上的拉力．

●例4 如图9－12甲所示，两木块A、B的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，两弹簧分别连接A、B，整个系统处于平衡状态．现缓慢向上提木块A，直到下面的弹簧对地面的压力恰好为零，在此过程中A和B的重力势能共增加了( )

图9－12甲

(m1＋m2)2g2A．

k1＋k2(m1＋m2)2g2B．

2(k1＋k2)

k1＋k2

C．(m1＋m2)2g2() k1k2

(m1＋m2)2g2m1(m1＋m2)g2D．＋

k2k1

【解析】取A、B以及它们之间的弹簧组成的整体为研究对象，则当下面的弹簧对地面的压力为零时，向上提A的力F恰好为：

F＝(m1＋m2)g

设这一过程中上面和下面的弹簧分别伸长x1、x2，如图9－12乙所示，由胡克定律得：

图9－12乙

(m1＋m2)g(m1＋m2)gx1＝，x2＝ k1k2

故A、B增加的重力势能共为： ΔEp＝m1g(x1＋x2)＋m2gx2 (m1＋m2)2g2m1(m1＋m2)g2＝＋．

k2k1

[答案] D

【点评】①计算上面弹簧的伸长量时，较多同学会先计算原来的压缩量，然后计算后来

ΔF

的伸长量，再将两者相加，但不如上面解析中直接运用Δx＝进行计算更快捷方便．

k

(m1＋m2)2g2

②通过比较可知，重力势能的增加并不等于向上提的力所做的功W＝F·x总＝

2k22(m1＋m2)2g2＋．

2k1k2

2．动力学中的弹簧问题

(1)瞬时加速度问题(与轻绳、轻杆不同)：一端固定、另一端接有物体的弹簧，形变不会发

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生突变，弹力也不会发生突变．

(2)如图9－13所示，将A、B下压后撤去外力，弹簧在恢复原长时刻B与A开始分离．

图9－13

●例5 一弹簧秤秤盘的质量m1＝1.5 kg，盘内放一质量m2＝10.5 kg的物体P，弹簧的质量不计，其劲度系数k＝800 N/m，整个系统处于静止状态，如图9－14 所示．

图9－14

现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值．(取g＝10 m/s2)

【解析】初始时刻弹簧的压缩量为：

(m1＋m2)gx0＝＝0.15 m

k

设秤盘上升高度x时P与秤盘分离，分离时刻有： k(x0－x)－m1g

＝a

m1

又由题意知，对于0～0.2 s时间内P的运动有： 12

at＝x 2

解得：x＝0.12 m，a＝6 m/s2

故在平衡位置处，拉力有最小值Fmin＝(m1＋m2)a＝72 N 分离时刻拉力达到最大值Fmax＝m2g＋m2a＝168 N． [答案] 72 N 168 N

【点评】对于本例所述的物理过程，要特别注意的是：分离时刻m1与m2之间的弹力恰好减为零，下一时刻弹簧的弹力与秤盘的重力使秤盘产生的加速度将小于a，故秤盘与重物分离．

3．与动量、能量相关的弹簧问题

与动量、能量相关的弹簧问题在高考试题中出现频繁，而且常以计算题出现，在解析过程中以下两点结论的应用非常重要：

(1)弹簧压缩和伸长的形变相同时，弹簧的弹性势能相等；

(2)弹簧连接两个物体做变速运动时，弹簧处于原长时两物体的相对速度最大，弹簧的形变最大时两物体的速度相等．

●例6 如图9－15所示，用轻弹簧将质量均为m＝1 kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处于原长状态，A距地面的高度h1＝0.90 m．同时释放两物块，A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面(但不继续上升)．若将B物块换为质量为2m的物块C(图中未画出)，仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，从A距地面的高度为h2处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面．已知弹簧的劲度系数k＝100 N/m，求h2的大小．

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图9－15

【解析】设A物块落地时，B物块的速度为v1，则有： 1

mv12＝mgh1 2

设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，对A物块有： mg＝kx

从A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，则有： 1

mv2＝mgx＋ΔEp 21

换成C后，设A落地时，C的速度为v2，则有： 1·2mv22＝2mgh2 2

从A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，则有： 1·2mv22＝2mgx＋ΔEp 2

联立解得：h2＝0.5 m． [答案] 0.5 m

【点评】由于高中物理对弹性势能的表达式不作要求，所以在高考中几次考查弹簧问题时都要用到上述结论“①”．如2005年高考全国理综卷Ⅰ第25题、1997年高考全国卷第25题等．

●例7 用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的A、B两物块都以v＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4 kg的物块C静止在前方，如图9－16 甲所示．B与C碰撞后二者粘在一起运动，则在以后的运动中：

图9－16甲

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度为多大？ (2)弹簧弹性势能的最大值是多少？

(3)A的速度方向有可能向左吗？为什么？

【解析】(1)当A、B、C三者的速度相等(设为vA′)时弹簧的弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，则有：

(mA＋mB)v＝(mA＋mB＋mC)vA′

(2＋2)×6

解得：vA′＝ m/s＝3 m/s．

2＋2＋4

(2)B、C发生碰撞时，B、C组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者的速度为v′，则有：

mBv＝(mB＋mC)v′

2×6

解得：v′＝＝2 m/s

2＋4

A的速度为vA′时弹簧的弹性势能最大，设其值为Ep，根据能量守恒定律得：

111

Ep＝(mB＋mC)v′2＋mAv2－(mA＋mB＋mC)vA′2

222＝12 J．

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