解:(1)当点M在的中点处时,△MAB面积最大,此时OM⊥AB,
∵OM=AB=×4=2,
∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4; (2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P, ∴△PAN∽△PMB.
13.(2018?常德)已知正方形ABCD中AC与BD交于O点,点M在线段BD上,作直线AM交直线DC于E,过D作DH⊥AE于H,设直线DH交AC于N.
(1)如图1,当M在线段BO上时,求证:MO=NO;
(2)如图2,当M在线段OD上,连接NE,当EN∥BD时,求证:BM=AB; (3)在图3,当M在线段OD上,连接NE,当NE⊥EC时,求证:AN2=NC?AC. 解:(1)∵正方形ABCD的对角线AC,BD相交于O, ∴OD=OA,∠AOM=∠DON=90°, ∴∠OND+∠ODN=90°, ∵∠ANH=∠OND, ∴∠ANH+∠ODN=90°,
∵DH⊥AE, ∴∠DHM=90°,
∴∠ANH+∠OAM=90°, ∴∠ODN=∠OAM, ∴△DON≌△AOM, ∴OM=ON; (2)连接MN, ∵EN∥BD,
∴∠ENC=∠DOC=90°,∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD, ∴EN=CN,同(1)的方法得,OM=ON, ∵OD=OD, ∴DM=CN=EN, ∵EN∥DM,
∴四边形DENM是平行四边形, ∵DN⊥AE, ∴?DENM是菱形, ∴DE=EN, ∴∠EDN=∠END, ∵EN∥BD, ∴∠END=∠BDN, ∴∠EDN=∠BDN, ∵∠BDC=45°, ∴∠BDN=22.5°,
∵∠AHD=90°,
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°, ∵∠ABM=45°,
∴∠BAM=67.5°=∠AMB, ∴BM=AB;
(3)设CE=a(a>0) ∵EN⊥CD, ∴∠CEN=90°, ∵∠ACD=45°, ∴∠CNE=45°=∠ACD, ∴EN=CE=a, ∴CN=
a,
设DE=b(b>0), ∴AD=CD=DE+CE=a+b, 根据勾股定理得,AC=
AD=
(a+b),
同(1)的方法得,∠OAM=∠ODN, ∵∠OAD=∠ODC=45°,
∴∠EDN=∠DAE,∵∠DEN=∠ADE=90°, ∴△DEN∽△ADE, ∴∴∴a=∴CN=
, ,
b(已舍去不符合题意的) a=
b,AC=
(a+b)=
b,
∴AN=AC﹣CN=b,
b?
b=2b2
∴AN2=2b2,AC?CN=∴AN2=AC?CN.
14.(2018?郴州)已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.
(1)求证:直线AD是⊙O的切线;
(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.
解:(1)如图, ∵∠AEC=30°, ∴∠ABC=30°, ∵AB=AD,
∴∠D=∠ABC=30°,
根据三角形的内角和定理得,∠BAD=120°, 连接OA,∴OA=OB, ∴∠OAB=∠ABC=30°,