解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，

∵OM=AB=×4=2，

∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4； （2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P， ∴△PAN∽△PMB．

13．（2018?常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．

（1）如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；

（2）如图2，当M在线段OD上，连接NE，当EN∥BD时，求证：BM=AB； （3）在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥EC时，求证：AN2=NC?AC． 解：（1）∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于O， ∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°， ∴∠OND+∠ODN=90°， ∵∠ANH=∠OND， ∴∠ANH+∠ODN=90°，

∵DH⊥AE， ∴∠DHM=90°，

∴∠ANH+∠OAM=90°， ∴∠ODN=∠OAM， ∴△DON≌△AOM， ∴OM=ON； （2）连接MN， ∵EN∥BD，

∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD， ∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON， ∵OD=OD， ∴DM=CN=EN， ∵EN∥DM，

∴四边形DENM是平行四边形， ∵DN⊥AE， ∴?DENM是菱形， ∴DE=EN， ∴∠EDN=∠END， ∵EN∥BD， ∴∠END=∠BDN， ∴∠EDN=∠BDN， ∵∠BDC=45°， ∴∠BDN=22.5°，

∵∠AHD=90°，

∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°， ∵∠ABM=45°，

∴∠BAM=67.5°=∠AMB， ∴BM=AB；

（3）设CE=a（a＞0） ∵EN⊥CD， ∴∠CEN=90°， ∵∠ACD=45°， ∴∠CNE=45°=∠ACD， ∴EN=CE=a， ∴CN=

a，

设DE=b（b＞0）， ∴AD=CD=DE+CE=a+b， 根据勾股定理得，AC=

AD=

（a+b），

同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN， ∵∠OAD=∠ODC=45°，

∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°， ∴△DEN∽△ADE， ∴∴∴a=∴CN=

， ，

b（已舍去不符合题意的） a=

b，AC=

（a+b）=

b，

∴AN=AC﹣CN=b，

b?

b=2b2

∴AN2=2b2，AC?CN=∴AN2=AC?CN．

14．（2018?郴州）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求证：直线AD是⊙O的切线；

（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．

解：（1）如图， ∵∠AEC=30°， ∴∠ABC=30°， ∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°， 连接OA，∴OA=OB， ∴∠OAB=∠ABC=30°，