∴OH=OB﹣HB=4﹣∵CB=CH， ∴OH+HC=4当∠BOC=90°， 此时BC=4

+BC，

∵∠BOC＜90°， ∴0＜BC＜4令BC=x

∴OH+HC=﹣（x﹣2）2+5 当x=2时，

∴OH+HC可取得最大值，最大值为5

6．（2018?衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若AC=4，CE=2，求

的长度．（结果保留π）

，

解：（1）如图，连接OD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE=∠DAO， ∴∠DAE=∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）如图，作OG⊥AE于点G，连接BD， 则AG=CG=AC=2，∠OGE=∠E=∠ODE=90°， ∴四边形ODEG是矩形，

∴OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，∠DOG=90°， ∵∠DAE=∠BAD，∠AED=∠ADB=90°， ∴△ADE∽△ABD， ∴

=

，即

=

，

∴AD2=48，

在Rt△ABD中，BD=在Rt△ABD中，∵AB=2BD， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=60°， 则

7．（2018?湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是

上

的长度为

=

．

=4，

的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1）若半圆的半径为10．

①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长．

（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（1）①当∠AOM=60°时， ∵OM=OA，

∴△AMO是等边三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°， ∴DM=OM=10

②过点M作MF⊥OA于点F， 设AF=x， ∴OF=10﹣x，

∵AM=12，OA=OM=10，

由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2 ∴x=

，

∴AF=，

∵MF∥OD， ∴△AMF∽△ADO， ∴∴∴AD=

， ，

∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于连接BC， ∵C是

的中点，

之间时，

∴∠B=45°，

∵四边形AMCB是圆内接四边形， 此时∠CMD=∠B=45°， 当点M位于连接BC，

由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45° 综上所述，∠CMD=45°

之间时，