§2 L’Hospital法则
在某一极限过程中，求两个无穷小（或两个无穷大量）之比的极限是经常遇到的问题。 例
xsinxx2?5x?6lim.如 lim，lim，
x?0x?2xx2?4x?0|x|2其中分子，分母都是无穷小量。又如
1x2(sin?2)0x?4xlim2，lim 分子，分母都是无穷大量。他们分别称为“”
x??3x?2x?1x??3x2?2x?10?型，“”型未定式,其所以称为“未定式”，是因为这两种极限可能存在，可能不存在，
?而且，如果存在，其极限值随具体问题而定。这里要介绍的洛必达法则，是根据柯西中值定理来确定“一. “
00”型，“
?” 型未定式的值的一种简单有效的方法，它包括下面几个定理. ?00”型未定式
定理1（为limx?a0f(x) “
0g(x)”型未定式的情形）设函数
f(x)和
g(x)在点a的一个空心邻域S0(a,?)内有定义，且满足条件：
（1）limx?af(x)?0,limg(x)?0；
x?a（2）在S0(a,?)内，
f?(x)和g?(x)存在，且g?(x)?0；
（3）limx?af?(x)f?(x)?k（或lim??），
x?a??g(x)g(x)f(x)f?(x)?lim?k（k可以是?）则 lim。
x?ag(x)x?ag?(x)证 只需证明
x?alim?f(x)f(x)?k且lim??k.由于证法相同，只
x?ag(x)g(x)证其一：
x?alim?f(x)?k. 我们利用柯西中值定理。为此， g(x)考虑两个在点a处有定义的函数：
?f(x)x?a,?g(x)x?a G(x)??， F(x)??x?a;x?a?0?0在区间[a,a??)内任取一点x，考虑区间[a,x]，显然F(x)和G(x)满足柯西定理的
1
条件，因此，
???(a,x)，使得
F(x)?F(a)F?(?)?,
a???x.已知
G(x)?G(a)G?(?)F(a)?G(a)?0，于是
f(x)g(x)?F(x)?F(a)G(x)?G(a)?F?(?)G?(?)?f?(?)g?(?)，a???x. 当x?a?时，??a?. 在上述两边取极限，得
f(x)f?(?)f?(x)条件（3） .同理可证
xlimg(x)??lim?a?g?(?)??lim?a?g?(x)?k?a?
f(x)xlim?a?g(x)?k. 于是证明了 limf(x)f?(x)x?ag(x)?limx?ag?(x)?k.
例1 lim1?cosxsinx?0x2?limxx?02x?12. 2 limx2例x2(1?x?01?xsinx?cosx?limxsinx?cosx)1?xsinx?cosx x?0x20?2lim0x?01?xsinx?cosx?2lim2xx?02sinx?xcosx?4lim1x?0?4
.2sinx?cosx3x洛例3 lim1?2cosxx2sin??3x???lim2sin??3.
3sin(x??x?3)3cos(x??3)cos(???33)ex?e?x洛例4 lim?2?limex?e?x洛ex?e?x1x?01?cosxx?0sinx? limx?0cosx??11在运用洛必达法则时，先要检查是否满足定理的条件。 条件（1）表明极限limf(x)0x?ag(x)确实是“
0”型未定式；
条件（2）表明表达式
f?(x)g?(x)有意义，最重要的要看
2
2. ?il条件（3）：mx?af?(x)是否存在（包括极限是常数k或?的 ?g(x)f?(x)f(x)的存在性，仅仅是lim存在的
x?ag(x)g?(x)f?(x)不存在时，不能断 ?g(x)情形）。注意：limx?a一个充分条件。换言之，当 limx?a定“
00“型的极限limx?af(x)也不存在。例如， g(x)111(xsin)?2xsin?cosx?limxx虽然极限limx?0x?0(sinx)?cosx2不存在，
1x?limx?xsin1?1?0?0.
但 limx?0x?0sinxsinxxxsin2定理2 （
x???lim0f(x)为“
0g(x)”型未定式的情形）设函数
f(x)
和g(x)在区间(c,??)有定义（这里不妨假设c足：（1）
?0），且满
x???limf(x)?0,x???limg(x)?0；
（2）
f?(x),g?(x)在区间(c,??)内存在,且g?(x)?0；
（3）
x???limf?(x)?k（或?），
g?(x)则
x???limf(x)f?(x)?lim?k（或?）. x???g(x)g?(x)?1，则当x???t时，有t注1 只须令x?0.此时， 定理2就可以化为定理1。
注2 若将极限过程改为x???，或x??，定理依然成立。
?例5
x???lim2?arctgx1x?12x21?x?lim?lim?1.
x???x???1?x21?2x00 3
二. “
?”型未定式 ?定理3（lim?f(x)为“”型未定式的情形）设函数f(x)和g(x)在点a的一个空心
x?ag(x)?邻域S0(a,?)内有定义，且满足： （1）limx?af(x)??,limx?ag(x)??；
（2）
f(x),g(x)在区间S0(a,?)内均可导，且g?(x)?0；（3）limf?(x)x?ag?(x)?k（或?），
则 limf(x)x?ag(x)?limf?(x)x?ag?(x)?k（或?）. 注 定理2.3的结果对于极限过程
x???，
x???，
x??也都适用。
1例6 limlnx??x?xlimx???1?0.
x?一般地，对于??0，有
1 lnxxxlim???x??xlim????x??1?xlim1????x??0.
换句话说，当??0时，有x?xlim???lnx??. 此时，我们说， 当 x???时，x?是比 lnx 更高阶的无穷大量。
xnnxn?1n(n?1)xn?2例7 xlim???ex?xlim???ex?xlim???ex
?(n次）??limn!x???ex?0（分子n!是一个常数）。
??0,则x?若xlim???ex?0. 事实上，不妨设n???n?1 4
n为
（