题组层级快练(四十一)
1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是( ) A．l1∥α且l2∥α C．l1∥α且l2?α 答案 B
解析 l1⊥α且l2⊥α?l1∥l2.
2．(2015·福建理)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 B
解析 因为m⊥α，若l⊥m，则l∥α或l?α，即l⊥m?l⊥m.
3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别是8，12，过AB的中点E且平行于BD，AC的截面四边形的周长为( ) A．10 C．8 答案 B
解析 设截面四边形为EFGH，F，G，H分别是BC，CD，DA的中点，∴EF＝GH＝4，FG＝HE＝6.
∴周长为2×(4＋6)＝20.
4．如图所示，在四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
B．20 D．4
l∥α.若l∥α，则l⊥m，即l∥α
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．l1⊥α且l2⊥α D．l1∥α且l2?α
答案 ①③
5．在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________． 答案 平面ABC和平面ABD
解析 连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F.由重心的性质可知，E，FEMEN1重合为一点，且该点为CD的中点E.由＝＝，得MN∥AB.因此MN∥平面ABC且
MANB2MN∥平面ABD.
6．过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条． 答案 6
解析 过三棱柱ABC—A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，EF1，EE1，FF1，E1F，E1F1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
7.如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．
(1)求证：E，B，F，D1四点共面； (2)求证：平面A1GH∥平面BED1F. 答案 (1)略 (2)略 解析 (1)连接FG.
∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2. ∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.
又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形． ∴FG綊C1B1綊D1A1.
∴四边形A1GFD1是平行四边形． ∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB. 故E，B，F，D1四点共面． (2)∵H是B1C1的中点， 3
∴B1H＝.又B1G＝1，
2B1G2∴＝. B1H3
FC2
又＝，且∠FCB＝∠GB1H＝90°， BC3
∴△B1HG∽△CBF.
∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.
又由(1)知，A1G∥BE，且A1G?平面A1GH，HG?平面A1GH，BF?平面A1GH，BE?平面A1GH，
∴BF∥平面A1GH，BE∥平面A1GH. 又∵BF∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.
8. (2013·福建文)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.
→
(1)当正视方向与向量AD的方向相同时，画出四棱锥P－ABCD的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；
(2)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； (3)求三棱锥D－PBC的体积． 答案 (1)略 (2)略 (3)83
解析 方法一： (1)在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由已知得，四边形ADCE为矩形，AE＝CD＝3.在Rt△BEC中，由BC＝5，CE＝4，依勾股定理，得BE＝3，从而AB＝6.
又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD.
从而在Rt△PDA中，由AD＝4，∠PAD＝60°， 得PD＝43.正视图如图所示．
(2)取PB中点N，连接MN，CN.
在△PAB中，∵M是PA中点， 1
∴MN∥AB，MN＝AB＝3.
2又CD∥AB，CD＝3， ∴MN∥CD，MN＝CD.
∴四边形MNCD为平行四边形． ∴DM∥CN.
又DM?平面PBC，CN?平面PBC， ∴DM∥平面PBC.
1
(3)VD－PBC＝VP－DBC＝S△DBC·PD，
3
又S△DBC＝6，PD＝43，所以VD－PBC＝83. 方法二：(1)同方法一．
(2)取AB的中点E，连接ME，DE.
在梯形ABCD中，BE∥CD，且BE＝CD， ∴四边形BCDE为平行四边形． ∴DE∥BC.
又DE?平面PBC，BC?平面PBC， ∴DE∥平面PBC.
又在△PAB中，ME∥PB，ME?平面PBC，PB?平面PBC，