《电磁学》思考题和计算题 第二章

E?0?r?R?E?E? （２）电位分布为

Q

?R?r?R??4??0?r2Q?r?R??4??0r2??????Q??1???1?U内??E?dl??E?dl?rR?4??0?R?? ?r?

???QU外??E?dl?r4??0rR?????R???? （３）金属球的电位为U球?E?dl?E?dl?Q?1???1?

?R?R?4??0?R???R?１７、一半径为Ｒ的导体球带电荷Ｑ，处在介电常数为ε的无限大均匀介质中。求：

（１） 介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ的分布； （２） 极化电荷面密度。 解：（１）由介质中的高斯定理可求得：

?Q?电位移为 D?r 34?r??? Q电场强度为 E?D?r??04??0?r3???Q?极化强度为 P?D??0E????1?r

4??r3Q （２）极化电荷面密度为 ???Pn?????1?

4??R2１８、半径为Ｒ、介电常数为ε的均匀介质球中心放有点电荷Ｑ，球外是空气。

（１） 求球内外的电场强度Ｅ和电位Ｕ的分布；

（２） 如果要使球外的电场强度为零且球内的电场强度不变，则球面上需要有面密

度为多少的电荷？

解： （１）由高斯定理可求得场强分布为

??DE内??Q4???0r3??0?r(r?R)

R Ｑ 25

《电磁学》思考题和计算题 第二章

??DE外??Q4??0r3?0?r(r?R)

电位的分布为

U内??Rr?????E内?dr??E外?dr?R????E外??E外?dr?RQ4??0r?1??1????(r?R)4???0?rR? Q(r?R) （２）要使Ｅ外＝０而Ｅ内保持不变，应使球面上Ｑ′＝－Ｑ

电荷的面密度应为 ???Q

4?R2１９、一半径为Ｒ的导体球带电荷Ｑ，球外有一层同心球壳的均匀电介质，其内外半径分

别为a和b，介电常数为ε。求：

（１） 介质内外的电场强度Ｅ和电位移Ｄ；

（２） 介质内的极化强度Ｐ和表面上的极化电荷面密度； （３） 介质内的极化电荷体密度为多少？

a 解： （１）由介质中的高斯定理可得

Ｒ b Q ??Q?D外?D内?r4?r3??Q?DE外??r(r?a,r?b) 3?04??0r??Q?DE内??r(a?r?b)3??04???0r（２）介质内的极化强度Ｐ为 P?D??0E????1? 介质表面的极化电荷面密度为

???Q?r 34??rQ4??a2 Q??Pn????1??外4??b2??Pn?????1??内 （３）均匀电介质，介质内极化电荷体密度为０。

２０、球形电容器由半径为Ｒ１的导体球和与它同心的导体球壳构成，壳的内半径为Ｒ２，

其间有两层均匀介质，分界面的半径为r，介电常数分别为ε

１

和ε

２

。

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《电磁学》思考题和计算题 第二章

（１） 求电容Ｃ；

（２） 当内球带电－Ｑ时，求介质表面上的极化电荷的面密度。 解： （１）由介质中的高斯定理可得

???QDE1??r(R1?r?r1)?1?04??1?0r3 ???QDE2??r(r1?r?R2)?2?04??2?0r3r ε１ Ｒ１ Ｒ2 ε ２ r??R2??Q??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)? 电位差为 U?1E1?dr?E?dr?R1?r12?4??0?1?2rR1R2电容为 C?4??0?1?2rR1R2Q ?U??2R2(r?R1)??1R1(R2?r)?（２）当内球带电为－Ｑ时，各介质表面的极化电荷面密度分别为

?内?4??10R12??1?1?Q

?外????2?1?Q24??10R2

?r???1??2?Q

4??1?2r2第二章 结 束

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