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《电磁学》思考题和计算题 第二章

(4)电容为C??r?0SQ=30μμF ?U?r(d?t)?t 与真空时的电容相比较 C/C0=1.2

9、两块平行导体板带有同号电荷,面密度分别为σ1=3.3×10-10C/m2,σ2=6.6×10-10C/m2,

两板相距为1.0cm。在其间平行地放有一块厚为5.0mm的均匀石腊板,ε=2.0。略去边缘效应,求: (1) 石腊内的E内; (2) 极板间石腊外的E外; (3) 两极板的电位差;

(4) 石腊表面的极化面电荷密度σ`。

解:(1)两导体板所带电荷同号,由高斯定理及电荷守恒定律可知

d ε d/2

?11??22?(?1??2)?4.95?10?10(C/m2)?12???21?(?1??2)?1.65?10?10(C/m2)1212

但考察两金属板之间的电场时,可以将每一金属板上的电荷看作整体。

E0?E2?E1?18.65(V/m)E内?E0/?r?9.3(V/m)

(3)电位差 U?Et?E0(d?t)?0.14V (4)石腊表面的极化面电荷密度σ`为

??p?(?r?1)E0?0.82?10?15(C/m2)

处成线性关系。略

10、平行板电容器的极板面积为S,间距为d,其间充满介质,介质的介电常数是变化的,

在一极板处为ε1,在另一极板处为ε2,其他处的介电常数与到ε去边缘效应,求: (1) 电容器的电容;

(2) 当两极板上的电荷分别为Q和-Q时,求介质内的极化电荷体密度和表面上的

极化电荷面密度。

11、一云母电容器是由10张铝箔和9片云母相间平行迭放而成,奇数铝箔接在一起作

为一极,偶数铝箔接在一起作为另一极,如图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是2.5cm,每片云母的相对介电常数ε都是7.0,厚度都是0.15mm。略去边缘效应,求电容C。

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2

1

《电磁学》思考题和计算题 第二章

解:可以看作九个电容器并联而成

C0???10d?C?9Ci?9.3?10F Ci??C0???0S?※12、一平行板电容器两极板相距为d,其间充满了两部

分介质,介电常数为ε常数为ε

2

1

的介质所占面积为S1,介电

ε 1 ε 2 的介质所占面积为S2。略去边缘效应,求

电容C。

解:两个电容器并联而成

S1 S2

??0??1S1??2S2?

C?C?C?12?2?0S2?d?C2??2C0?d?d※13、如图所示,一平行板电容器两极板的面积都是S,相距为d。今在其间平行地插入厚度为t,介电常数为ε的均匀介质,其面积为S/2。设两板分别带电荷Q和-Q。略去边缘效应,求:

(1) 两极板电位差U; (2) 电容C;

(3) 介质的极化电荷面密度。

t εd C1??1C0??1?0S1?S/2 S/2 解:(1)设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ1,另一侧为σ

U?

?1???d?2?d?t??2t??0?0?0??U?2??d??1???t?dQ

?SS?0?2?d??1??r?t?S??1??2?Q?22?Q?0S?2?d??1??r?t? ?U2d??d??1???t?dE0?

(2)电容器的电容为 C? (3)极化电荷面密度为 ???Pn????1??02???1?dQ

?S?2?d??1???t?注:可以先利用定义求电容 解法一:根据电容器电容之定义求解。 设极板左半部的自由电荷为Q01

?自由电荷面密度为?01其间电介质外的场强为E01?01,电介质内之场强为

?0E?E1?01?01

?r?0?r设极板右半部的自由电荷为Q02,自由电荷面密度为?02,其间场强为E02?两极板间的电势差为

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?02 ?0《电磁学》思考题和计算题 第二章

?U?E01(d?t)?E1t??01?(d?t)?01t ① ?0?0?r或 ?U?E02d??02d ② ?0同一块板上的电势是相同的

由①、②两式得

?01[?r(d?t)?t]??2?rd ③

s?01s?02??Q ④ 22?U2d根据电容之定义 C?Q??0s(1??01)

?02根据③式代入上式整理后得

?S[2?rd?(1??r)t] C?02[?rd?(1??r)t]d解法二:利用电容器的串、并联关系求解。

这个平行板电容器可看成由三个平行板电容器构成:电容器左半部看成是由面积为S/2,其间距分别是d-t(为真空)和t(为电介质)两个电容器C1,C2串联,然后和面积为S

、间距为d的电容器并联,如图所示。 2

C1??0S2(d?t) C2??0?rS2t C3??0S2d

111??,C?C12?C3 CC1C2联立求解上面式子得

C??0S[2?rd?(1??r)t]

2[?rd?(1??r)t]d所得结果与解法一相同。 (2)介质的极化电荷面密度

?'?P?(?r?1)?0E1?(?r?1)?0将③、④两式代入上式解得

2(?r?1)Qd?'?

S[2?rd?(1??r)t]?01?r?1??01 ?0?r?r在电介质的上、下两个表面分别分布有正、负极化电荷面密度?'。

※14、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m,相距为5.0mm。当两极板之间是空气时,

加上一万伏的电压后,取去电源,再在其间插入两平行介质层,一层厚2.0mm,ε=5.0;另一层厚3.0mm,ε

2

1

=2.0。略去边缘效应,求:

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《电磁学》思考题和计算题 第二章

(1) 介质内的E和D; (2) 两极板的电位差;

εε1 2 (3) 电容C。 解: C0=ε

S/d Q=C0U 电源断开后,Q保持不变 D1=D2=Q/S=1.78×10-5(C/m2)

5

6

(1)E0=U/d E1=E0/ε1 =4×10(V/m) E2=E0/ε2 =1×10(V/m) (2)U=E1d+E2d=3800V (3)C=Q/U=9.4×10F

※15、同心球形电容器内外半径分别为R1和R2,两球间充满介电常数为ε的均匀介质,

内球的电荷量为Q。求: (1) (2) (3)

电容器内各处的电场强度E的分布和电位差U; 介质表面的极化电荷面密度; 电容C(它是真空时电容的多少倍?)

ε Q R1 R2 -9

解:(1)内球为等势体 其内场强为0

由对称性和高斯定理得,介质内的电场强度为

E?Qr R1?r?R2 34??0?r 两极板之间的电位差为

U12??RE?dr?1R2??Q11

(?)4???0R1R2??(???0)Q?(2)介质的极化强度为 P?(???0)E?r 34??0r 介质的内外两表面上极化电荷的面密度分别为 ?1??P1n??(3)C=Q/U12=

(???0)Q(???0)Q? ??P?22n224??0R14??0R2Q/(Q11 (?))4???0R1R216、在半径为R的金属球外有一层半径为Rˊ的均匀介质层(如图所示)。设电介质的介

电常数为ε,金属球带电量为Q,求: (1) 介质层内外的场强分布; (2) 介质层内外的电位分布; (3) 金属球的电位。

解:(1)由对称性及高斯定理可求得场强分布为

R′ ε Q R 24