《电磁学》思考题和计算题 第二章
（4）电容为C??r?0SQ=30μμF ?U?r(d?t)?t 与真空时的电容相比较 C/C0=1.2
9、两块平行导体板带有同号电荷，面密度分别为σ1=3.3×10-10C/m2，σ2=6.6×10-10C/m2，
两板相距为1.0cm。在其间平行地放有一块厚为5.0mm的均匀石腊板，ε＝２.0。略去边缘效应，求： （１） 石腊内的E内； （２） 极板间石腊外的E外； （３） 两极板的电位差；
（４） 石腊表面的极化面电荷密度σ`。
解：（1）两导体板所带电荷同号，由高斯定理及电荷守恒定律可知
d ε d/2
?11??22?(?1??2)?4.95?10?10(C/m2)?12???21?(?1??2)?1.65?10?10(C/m2)1212
但考察两金属板之间的电场时，可以将每一金属板上的电荷看作整体。
E0?E2?E1?18.65(V/m)E内?E0/?r?9.3(V/m)
（3）电位差 U?Et?E0(d?t)?0.14V （4）石腊表面的极化面电荷密度σ`为
??p?(?r?1)E0?0.82?10?15(C/m2)
处成线性关系。略
1０、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满介质，介质的介电常数是变化的，
在一极板处为ε1，在另一极板处为ε2，其他处的介电常数与到ε去边缘效应，求： （１） 电容器的电容；
（２） 当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内的极化电荷体密度和表面上的
极化电荷面密度。
１１、一云母电容器是由１０张铝箔和９片云母相间平行迭放而成，奇数铝箔接在一起作
为一极，偶数铝箔接在一起作为另一极，如图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是2.5cm,每片云母的相对介电常数ε都是7.0，厚度都是0.15mm。略去边缘效应，求电容Ｃ。
21
2
1
《电磁学》思考题和计算题 第二章
解：可以看作九个电容器并联而成
C0???10d?C?9Ci?9.3?10F Ci??C0???0S?※１２、一平行板电容器两极板相距为d，其间充满了两部
分介质，介电常数为ε常数为ε
2
1
的介质所占面积为Ｓ１，介电
ε 1 ε ２ 的介质所占面积为Ｓ２。略去边缘效应，求
电容Ｃ。
解：两个电容器并联而成
Ｓ１ Ｓ２
??0??1S1??2S2?
C?C?C?12?2?0S2?d?C2??2C0?d?d※１３、如图所示，一平行板电容器两极板的面积都是Ｓ，相距为d。今在其间平行地插入厚度为t，介电常数为ε的均匀介质，其面积为Ｓ／２。设两板分别带电荷Ｑ和-Ｑ。略去边缘效应，求：
（１） 两极板电位差Ｕ； （２） 电容Ｃ；
（３） 介质的极化电荷面密度。
t εd C1??1C0??1?0S1?S/2 S/2 解：（１）设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为σ１，另一侧为σ
２
U?
?1???d?2?d?t??2t??0?0?0??U?2??d??1???t?dQ
?SS?0?2?d??1??r?t?S??1??2?Q?22?Q?0S?2?d??1??r?t? ?U2d??d??1???t?dE0?
（２）电容器的电容为 C? （３）极化电荷面密度为 ???Pn????1??02???1?dQ
?S?2?d??1???t?注：可以先利用定义求电容 解法一：根据电容器电容之定义求解。 设极板左半部的自由电荷为Q01
?自由电荷面密度为?01其间电介质外的场强为E01?01，电介质内之场强为
?0E?E1?01?01
?r?0?r设极板右半部的自由电荷为Q02，自由电荷面密度为?02，其间场强为E02?两极板间的电势差为
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?02 ?0《电磁学》思考题和计算题 第二章
?U?E01(d?t)?E1t??01?(d?t)?01t ① ?0?0?r或 ?U?E02d??02d ② ?0同一块板上的电势是相同的
由①、②两式得
?01[?r(d?t)?t]??2?rd ③
而
s?01s?02??Q ④ 22?U2d根据电容之定义 C?Q??0s(1??01)
?02根据③式代入上式整理后得
?S[2?rd?(1??r)t] C?02[?rd?(1??r)t]d解法二：利用电容器的串、并联关系求解。
这个平行板电容器可看成由三个平行板电容器构成：电容器左半部看成是由面积为S/2，其间距分别是d-t（为真空）和t（为电介质）两个电容器C1，C2串联，然后和面积为S
、间距为d的电容器并联，如图所示。 2
C1??0S2(d?t) C2??0?rS2t C3??0S2d
而
111??，C?C12?C3 CC1C2联立求解上面式子得
C??0S[2?rd?(1??r)t]
2[?rd?(1??r)t]d所得结果与解法一相同。 （2）介质的极化电荷面密度
?'?P?(?r?1)?0E1?(?r?1)?0将③、④两式代入上式解得
2(?r?1)Qd?'?
S[2?rd?(1??r)t]?01?r?1??01 ?0?r?r在电介质的上、下两个表面分别分布有正、负极化电荷面密度?'。
※１４、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m，相距为5.0mm。当两极板之间是空气时，
加上一万伏的电压后，取去电源，再在其间插入两平行介质层，一层厚2.0mm，ε＝５.0;另一层厚３.0mm，ε
２
2
1
＝２.0。略去边缘效应，求：
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《电磁学》思考题和计算题 第二章
（１） 介质内的Ｅ和Ｄ； （２） 两极板的电位差；
εε１ ２ （３） 电容Ｃ。 解： Ｃ０=ε
０
Ｓ/d Ｑ＝Ｃ０Ｕ 电源断开后，Ｑ保持不变 D1=D2=Q/S=1.78×10-5(C/m2)
5
6
（１）E0=U/d E1=E0/ε1 =4×10(V/m) E2=E0/ε2 =1×10(V/m) （２）U=E1d+E2d=3800V （３）C=Q/U=9.4×10F
※１５、同心球形电容器内外半径分别为Ｒ１和Ｒ２，两球间充满介电常数为ε的均匀介质，
内球的电荷量为Ｑ。求： （１） （２） （３）
电容器内各处的电场强度Ｅ的分布和电位差Ｕ； 介质表面的极化电荷面密度； 电容Ｃ（它是真空时电容的多少倍？）
ε Ｑ Ｒ１ Ｒ２ -9
解：（１）内球为等势体 其内场强为0
由对称性和高斯定理得，介质内的电场强度为
E?Qr R1?r?R2 34??0?r 两极板之间的电位差为
U12??RE?dr?1R2??Q11
(?)4???0R1R2??(???0)Q?（２）介质的极化强度为 P?(???0)E?r 34??0r 介质的内外两表面上极化电荷的面密度分别为 ?1??P1n??（３）C=Q/U12=
(???0)Q(???0)Q? ??P?22n224??0R14??0R2Q/(Q11 (?))4???0R1R2１６、在半径为Ｒ的金属球外有一层半径为Ｒˊ的均匀介质层（如图所示）。设电介质的介
电常数为ε，金属球带电量为Ｑ，求： （１） 介质层内外的场强分布； （２） 介质层内外的电位分布； （３） 金属球的电位。
解：（１）由对称性及高斯定理可求得场强分布为
Ｒ′ ε Ｑ Ｒ 24