《电磁学》思考题和计算题 第二章

解：介质内的电场强度为 E?E0?1.7?106(V/m) ?

极板上的极化电荷面密度为 ???(???0)E?1.5?10?5(C/m2)

※４、平行板电容器（极板面积为Ｓ，间距为d）中间有两层厚度各为d1和d2(d1+d2=d),介

电常数各为ε

１

和ε

２

的电介质层。试求：

（１） 电容Ｃ；

（２） 当金属极板上带电面密度为±σ0时，两层介质分界面上的极化电荷面密度σˊ； （３） 极板间电位差Ｕ； （４） 两层介质中的电位移Ｄ。 解：（１）

εε１ ２

C??0S?0S???S Q???120EUE1d1?E2d2E0d1?2?d2?1d1?0d2?1?2 注：可视为C1 C2两个电容的串联

C?C1C2?(C1?C2)?0?1?2s?1d2??2d1

（２）

?1e'?Pn??0(?r?1)E??0(?r?1)?e0/?0?1

?(?1?1)?e0/?117

《电磁学》思考题和计算题 第二章

?e'?(?2?1)?e0/?2

2?e'?(?1e'??2e')?(?1??2)?e0/?1?2

或者

???2??P1?P2?????1??1??2??1?2?0

（３）U?U1?U2??0d1?2?d2?1

?0?1?2（４）D?D1?D2??0

５、两平行导体板相距5.0mm，带有等量异号电荷，面密度为20μＣ／m2,其间有两片电介

质，一片厚2.0mm，ε1＝3.0;另一片厚３.0mm，ε1＝４.0。略去边缘效应，求各介质内的Ｅ、Ｄ和介质表面的σˊ。

解：由介质中的高斯定理得，两介质中电位移的大小为 D1?D2?20(?C/m2)?2.0?10?5(C/m2) 由Ｄ＝εＥ可知Ｅ与Ｄ同方向，Ｅ的大小分别为 E1?D1?1?7.5?105(V/m) E2?D2?2?5.6?105(V/m)

两介质表面的极化电荷面密度为 ?1??(1??1?r11)???1.3?10?5(C/m2)

?2??(1?或者

??r2)???1.5?10?5(C/m2)

E1?E0/?1??0e/?0?1?7.5?105V/m

E2?E0/?2?5.6?105V/m

６、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m2, 相距为5.0mm，两极加上１００００Ｖ电压

后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚2.0mm，ε1＝５.0;另一层厚３.0mm，ε

２

＝２.0。略去边缘效应，求：

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《电磁学》思考题和计算题 第二章

（１） 各介质中的电极化强度Ｐ；

（２） 电容器靠近电介质２的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少？

解：（１）未放入介质时，加上电压Ｕ后，电容器带电量为Q??S?DS??0ES? 断开电源后，Ｑ不变，σ也不变，两介质中的电位移为

?0USd

D1?D2??? 介质中的电场强度为 E1??0Ud

D1?1?U?r1d E2?D2?2?U?r2d

介质中的极化强度为 P1?D1??0E1?(1?1?0U)?1.4?10?5(C/m2) ?r1d1)P2?D2??0E2?(1? （２）两介质接触面上的电位为 U?E2d2??0Ud?r2?8.9?10?6(C/m2)

Ud2?3.0?103V ?r2d※７、如图所示，一平行板电容器两极板相距为d,面积为Ｓ，电位差为Ｕ，其中放有一层

厚为t的介质，介电常数为ε，介质两边都是空气，略去边缘效应，求： （１） 介质中的电场强度Ｅ、电位移Ｄ和极化强度Ｐ； （２） 极板上的电荷量Ｑ； （３） 极板和介质间隙中的场强Ｅ； （４） 电容。

解：（１）由介质中的高斯定理得 Ｄ０＝Ｄ＝σ

d ε t ??E??0?0 ?D???0E???E?????0?U?E0(d?t)?Et?????????(d?t)?t?(d?t)?t???0??0??0?

??0U?(d?t)?t(??1)?0U

?(d?t)?t 介质中的极化强度为 P?(??1)?0E0?19

《电磁学》思考题和计算题 第二章

（２）极板上的电荷量为 Q??S??r?0US?r(d?t)?t

??U??0?(d?t)?t （３）各区域的电场强度为

?UE????0?(d?t)?tE0?（４）电容为 C???0SQ ?U?(d?t)?t注:电容可视为串联，先求Q，再求?

※８、平行板电容器两极板相距3.0cm，其间放有一层ε＝２.0的介质，位置和厚度如图

所示，已知极板上面电荷密度为σ=8.9×10-10C/m2，略去边缘效应，求：

（１） 极板间各处的P、E和D； （２） 极板间各处的电位（设UA=0）； （３） 画E-x、D-x、U-x曲线；

（４） 已知极板面积为0.11 m2，求电容C，并与不加介质时的电容C0比较。

答：（1）由介质中的高斯定理可得

D0?D???8.9?10?10(C/m2)A –σ +σ B ε X 0 1 2 3 cm ? ?1.0?102(V/m)?0?E??50(V/m),P?D??0E?4.5?10?10(C/m2)?r?0E0?（2）以A板电位为零，各点的电位为 Ux??0x??E?dx?E0x?1.0?102x 0?x?0.01 ??0??E?dx??E?dx?50x?0.5 0.01?x?0.02

0.01Ux??Ux??0.01x0.02x??0.01??0??E?dx??E?dx??E?dx??100x?0.5 0.02?x?0.03

0.020.01（3）E-x、D-x、U-x曲线分别为 E/V/m 100 50 D -108.9×10C/m2 2 1 U/V 0 0.01 0.02 0.03 x/m 0 0.01 0.02 0.03 x/m 0 0.01 0.02 0.03 x/m 20