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??4xM＋yM＝4，?2 2

?4xN＋yN＝4.?

2

2

两式相减，得

4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0，

?1?将xM＋xN＝2×?－?＝－1，yM＋yN＝2y0，

?2?

yM－yN1y0

＝－代入上式得k＝－. xM－xNk2

?1?又点P?－，y0?在弦MN的垂直平分线上，

?2?

1

所以y0＝－k＋m.

213

所以m＝y0＋k＝y0.

24

1?1?由点P?－，y0?在线段BB′上(B′，B为直线x＝－与椭圆的交点，如图

2?2?所示)，所以yB′＜y0＜yB，也即－3＜y0＜3. 3333

所以－＜m＜，且m≠0.

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[思想方法] 1.有关弦的三个问题

(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.

2.求解与弦有关问题的两种方法

(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.

(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范]

判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点 精品文档

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(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.

(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.

第2课时 定点、定值、范围、最值问题

考点一 定点问题

x2y2

【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆2＋2＝1(a＞0，b＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短

ab轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点

M，N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.

解 (1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)＋(2b)＝2(2c)，又a＝b＋c，所以

2

2

2

2

2

2

→→→→

a2＝3.

所以椭圆的方程为＋y＝1.

3

(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 设l方程为x＝t(y－m)，

→→

由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)， ∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.

x2

2

my1

m→→

同理由PN＝λ2NQ知λ2＝－1.

y2

∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①

?x＋3y＝3，?22222

联立?得(t＋3)y－2mty＋tm－3＝0，

??x＝t（y－m）

2

2

∴由题意知Δ＝4mt－4(t＋3)(tm－3)＞0，② 2mttm－3且有y1＋y2＝2，y1y2＝2，③

t＋3t＋3将③代入①得tm－3＋2mt＝0， ∴(mt)＝1.

由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，

得l方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点. 精品文档

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