精品文档
1
综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
2考点二 弦长问题
x2y2
【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角
ab三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T. (1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点
P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值. x2y2
(1)解 由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为2＋2＝1.
2bbxy??2＋2＝1，22
由方程组?2bb得3x－12x＋(18－2b)＝0.①
??y＝－x＋3，
方程①的判别式为Δ＝24(b－3)，由Δ＝0，得b＝3，
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).
631
(2)证明 由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
22m1x＝2－，?3?y＝x＋m，
由方程组?2可得
2m?y＝1＋.?y＝－x＋3，
3
2
2
2
2
x2y2
?????
2m?82?2m2
所以P点坐标为?2－，1＋?.|PT|＝m.
33?9?设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
??6＋3＝1，
由方程组?可得3x＋4mx＋(4m－12)＝0.②
1??y＝2x＋m，
2
2
x2y2
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m)， 3232
由Δ>0，解得－ 224m4m－12 由②得x1＋x2＝－，x1x2＝. 33所以|PA|＝ 2 2 ?2－2m－x1?＋?1＋2m－y1? ????33???? 22 精品文档 精品文档 5?2m5?2m?2－－x1?，同理|PB|＝?2－－x2?. ??332?2??? ＝ 5??2m??2m??所以|PA|·|PB|＝??2－－x1??2－－x2?? 334??????5??2m?2?2m? ＝??2－2－－（x????1＋x2）＋x1x2? 4??3??3??5??2m?2?2m??4m?4m2－12?＝??2－?－?2－??－?＋? 4??3??3??3?3?102＝m. 9 42 故存在常数λ＝，使得|PT|＝λ|PA|·|PB|. 5规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法： 涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. x2y21 【训练2】 已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为，左、右焦点分别为F1(－ ab2c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程； 1 (2)若直线l：y＝－x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆 2|AB|53 交于C，D两点，且满足＝，求直线l的方程. |CD|4 b＝3，??c1 解 (1)由题设知?＝，解得a＝2，b＝ a2??b＝a－c， 2 2 2 3，c＝1， ∴椭圆的方程为＋＝1. 43 (2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x＋y＝1， 2|m|5 ∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1，得|m|＜.(*) 25∴|CD|＝21－d＝2 2 2 2 x2y2 4222 1－m＝5－4m. 55 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 精品文档 精品文档 1 y＝－x＋m，??2由?得x－mx＋m－3＝0， xy??4＋3＝1， 2 2 2 2 由根与系数关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m－3. ∴|AB|＝ 2 ??1?2?22 ?1＋?－??[m－4（m－3）] ??2?? ＝ 152 4－m. 2 4－m3 ，满足(*). 2＝1，解得m＝± 5－4m3 2|AB|53 由＝，得|CD|4 1313∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－. 2323 考点三 中点弦问题 x2y2 【例3】 (1)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A， abB两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) A.＋＝1 4536C.＋＝1 2718 2 x2x2 y2y2 B.D. ＋＝1 3627＋＝1 189 2 x2x2 y2 y2 (2)已知双曲线x－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN的中点在抛物线y3＝18x上，则实数m的值为________. y2 1 解析 (1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入 2 a22?2329222x2y2?椭圆方程2＋2＝1消去y，得?＋b?x－ax＋a－ab＝0，所以AB的中点的横坐标为 ab24?4? 32 a2 ??2?＋b??4? 2 a2 ＝1，即a＝2b，又a＝b＋c，所以b＝c＝3，a＝32，选D. 22222 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)， 精品文档 精品文档 ?x－3＝1， ①?y则?x－3＝1， ② x＋x＝2x， ③??y＋y＝2y， ④ 2122 22 11 22 00 y21 1 由②－①得(x2－x1)(x2＋x1)＝(y2－y1)(y2＋y1)， 3显然x1≠x2.∴ y2－y1y2＋y1y0 ·＝3，即kMN·＝3， x2－x1x2＋x1x0 ∵M，N关于直线y＝x＋m对称，∴kMN＝－1， ∴y0＝－3x0. ?m3m?又∵y0＝x0＋m，∴P?－，?， ?44? 92?m?代入抛物线方程得m＝18·?－?， 16?4?解得m＝0或－8，经检验都符合. 答案 (1)D (2)0或－8 规律方法 处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2， y1＋y2， 率. y1－y2 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜x1－x2 (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解. 【训练3】 设抛物线过定点A(－1，0)，且以直线x＝1为准线. (1)求抛物线顶点的轨迹C的方程； 1 (2)若直线l与轨迹C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂 2直平分线的方程为y＝kx＋m，试求m的取值范围. 解 (1)设抛物线顶点为P(x，y)，则焦点F(2x－1，y). 再根据抛物线的定义得|AF|＝2，即(2x)＋y＝4， 所以轨迹C的方程为x＋＝1. 4 2 2 2 y2 ?1?(2)设弦MN的中点为P?－，y0?，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点，可知?2? 精品文档