两个数的最大公约数与最小公倍数有如下关系： 最大公约数×最小公倍数=两数的乘积，即 （a，b）×[a，b]= a×b 例题与方法

例1．两个自然数的最小公倍数是180，最大公约数是12，并且小数不能整除大数。求这两个数。

例2．能同时被2，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数整除的最大六位数是多少？

例3．三位朋友每人隔不同的天数到图书馆去看书，甲3天去借一次，乙4天去一次，丙5天去一次。一个星期一，他们三人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又在图书馆相遇？相遇时是星期几？

例4．小佳的储蓄筒里存有二分和五分的硬币，他把这些硬币倒出来，估计有五、六元钱。小佳把这些硬币分成钱数相等的两堆，第一堆中二分硬币和五分硬币的个数相等；第二堆中二分硬币和五分硬币的钱数相等。你知道小佳存了多少钱吗？

例5．某班学生列队，如果每排3人，就多出1人；如果每排5人，就多出3人；如果每排7人，就多出2人。问：这个班至少有多少人？

练习与思考

1．已知A，B两个数的最大公约数是12，最小公倍数为72，A=36，求B=？ 2．两个自然数的和是52，它们的最大公约数是4，最小公倍数是144。这两个数各是多少？

3．有一种自然数，它们加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，咖上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数。这种自然数除1以外，最小的数是多少？

4．有一批砖，长45厘米，宽30厘米，至少用这样的砖多少块才能铺成一个实心的正方形？

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5．现有语文本42本，数学本112本，外语本70本，平均分成若干堆，每堆中这三种课本的数量分别相等。最多可以分成几堆？

6．从运动场的一端到另一端全长96米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗（两个端点各插一面旗）。现在要改成每隔6米插一面小红旗，问：可以不拔出来的小红旗有多少面？

7．有四个自然数A，B，C，D，它们的和不超过400，并且A除以B商是5余5，A除以C商是6余6，A除以D商是7余7。这四个自然数的和是多少？

8．甲、乙、丙三个同学绕环形跑道跑步，甲跑完一圈要1分，乙跑完一圈要1分15秒。现在三人同时同地出发，几分后，三人又在出发地相会？这时他们各跑了几圈？

9．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？

第三十二讲 分解质因数（一）

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。例如：2、3都是36的质因数，4和9都是36的因数，但不是36的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如240=24×3×5，4200=23×3×52×7

在解决一些数学问题的过程中，我们常常把一些已知数分解质因数，以便于研究已知数与未知数之间的关系。

例题与方法

例1．23÷（ ）=（ ）??5，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？

例2．班主任李老师带领五（1）班同学去种树，全班同学恰好可以平均分成3组。如果老师与学生每人种树的棵树一样多，则共种了364棵树。五（1）班有学生多少人？每人种树多少棵？

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例3．一只筐里共有96个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完。那么，共有几种拿法？

例4．将下列八个数平均分成两组，并使这两组数的乘积相等。

例5．504乘以自然数a，得到一个平方数（即等于某自然数的平方），求a的最小值和这个平方数。

练习与思考

1．用1，2，3三个数字，允许重复使用，可以组成100以内的哪些质数？ 2．三个自然数的乘积为120，其中两个数的和等于另一个数，求这三个数。 3．用462个大小相同的正方形拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？ 4．把9，15，28，30，34，55，77，85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？

5．如果两个自然数的和是32，这两个数的积可以整除3003，那么，这两个数的差是多少？

6．要使145×32×20×□积的末五位数都是0，□里填入的自然数的最小值是多少？

7．把若干个自然数1，2，3，4，?连乘起来，当乘积的最末20位恰好都是0时，最后出现的自然数最小是多少？

8．有若干箱同样大小的正方形瓷砖，每箱360块。问：至少取多少箱，才能使所取出的瓷砖能拼成一个正方形？（要求整箱地取，所取的瓷砖要全部用上。）

第三十三讲 分解质因数（二）

例题与方法

例1．求1585的约数的个数。

例2．某自然数是3和4的倍数，这个数包括1和本身在内共有10个约数，这个自然数是多少？

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例3． A、B两数都含有质因数3和5，它们的最大公约数是75。已知A有12个约数，B有10个约数， 那么，A、B两数的和是多少？

例4．四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？ 例5．把1，2，3，4，5，6，7，8，9填进下面算式的方框内（每个数字都要用到），使等式成立。

□□□×□□＝□□×□□＝5568 练习与思考

1．165的约数共有几个？

2．某自然数是4和5的倍数，包括1和它本身在内共有9个约数，这个自然数是多少？

3．甲、乙两个数都含有质数2和7，它们的最大约数是98。已知甲数有12个约数，乙数有8个约数甲、乙两数各是多少？

4．用一个两位数除3347，余数是83，求这个两位数。 5．四个连续自然数的乘积是11880，这四个数的和是多少？

6．一个长方形的面积为320平方米，如果它的长不变，宽增加4米，就成为一个正方形。求原来长方形的周长。

7．幼儿园陈老师带了112元钱去商店买一种玩具若干个，由于这种玩具每个降价一元，陈老师所带的钱可以比原汁划多买2个。陈老师原来准备买多少个这种玩具？

8． 11112222个棋子排成一个长方阵。每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多一个，这个长方阵每一横行有多少个棋子？

第三十四讲 牛顿问题

牛顿是英国的一个伟大的科学家，他曾经写过一本“算术”书，书中有一道非常有名的题目，是关于牛在牧场上吃草的问题。以后，人们就把这类“牛吃草问题”叫做“牛顿问题”。

例题与方法

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