习题7

1.一工厂利用三种原料能生产五种产品，其有关数据如下表： 每万件产品所用原料数 （kg） 原料 甲 乙 丙 产品 A B 1 1 1 2 0 2 C 1 1 2 D 0 3 2 E 1 2 2 现在原料数 （kg） 10 24 21 每万件产品利润（万元） 8 (1) 求最优生产计划.

20 10 20 21 (2) 对目标函数系数c1、c4分别作灵敏度分析. (3) 对约束条件的常数项b1、b2分别作灵敏度分析.

(4) 如果引进新产品F，已知生产F1万件要用原材料甲、乙、丙分别为1、2、1公斤，问F的利润多少时才有利于投产？如果每万件F可得到利润12万元，问F是否有利于投产？ (5) 如果新增加煤耗不允许超过10吨的限制，而生产每万件A、B、C、D、E产品分别需要煤3、2、1、2、1吨，问原最优方案是否需要改变？如果改变，应如何改变？

解：设用x1,x2,x3,x4,x5分别表示计划生产产品A、B、C、D、E的单位数量（万件）模型为：

maxf?8x1?20x2?10x3?20x4?21x5

?x5?10?x1?2x2?x3??x3?3x4?2x5?24?x1s.t.?

x?2x?2x?2x?2x?212345?1??x1,x2,x3,x4,x5?0标准形：

minf???f??8x1?20x2?10x3?20x4?21x5

?x5?x6?x1?2x2?x3??x3?3x4?2x5?x7?x1s.t.??x1?2x2?2x3?2x4?2x5??x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8?0 ?10?24?x8?21

(1) 基B?(a6,a7,a8)对应的初始单纯形表. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 f? 8 20 10 20 21 0 0 0 0 10 24 21 x6 1 2 1 0 1 1 0 0 x7 1 0 1 3 2 0 1 0 x8 1 2 2 2 2 0 0 1 换基迭代 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 f? -2 0 0 20 11 -10 0 0 -100 5 24 11 x2 1/2 1 1/2 0 1/2 1/2 0 0 x7 1 0 1 3 2 0 1 0 x8 0 0 1 2 1 -1 0 1 继续

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 f? -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 10 x5 1 2 1 0 1 1 0 0 x4 -1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 所以x?(0,0,0,12,10)T,f?220

即D生产1/2万件，E生产10万件，获得最大利润220万元. (2) 对c1作灵敏度分析 记c1?c1???8??

x7 1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 1/2 则f???220?3x1?2x2?11x3?x6?10x8??x1（由最优基对应） 任以B?(a5,a7,a4)为最优基 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 f? ?-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 10 x5 1 2 1 0 1 1 0 0 x4 -1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 若要原最优解不变，应满足条件：

x7 1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 1/2 ??3?0，??3

则x1的价值系数0?c1?11时，最优解最优值不变. 对c4作同样的灵敏度分析 任以B?(a5,a7,a4)为最优基 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 f? ?2-3 ?-2 -11 0 0 ?-1 0 -10-?2 -220-?2 x5 1 2 1 0 1 1 0 0 x7 1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 x4 -1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 若要原最优解不变，应

10 5/2 1/2 ??3??2?0???2???0???????20???1 ，所以0?c4?21 ，最优值变为?220??2. ??1?0?????10??2??(3) 对b1作灵敏度分析 设b1?b1??b1?10??b1

?100?最优基B?(a???213?5,a7,a4)?，则新的基解x?1B?Bb?B?1?b

??202?????10??b??所以x?51?B????b1?

?2?1??2??b?1??令xB?0得到-52??b1?12，即152?b1?212时，最优基不变。

对b4作灵敏度分析可以得到?b2?-52，即b1?432时，最优基不变。 (4) 设生产新产品Fx9万件，每单位的利润为c9万元

minf???f??8x1?20x2?10x3?20x4?21x5?c9x9

??x1?2x2?x3?x5?x9?x6?10s.t.??x1?x3?3x4?2x5?2x9?x7?24?x1?2x2?2x3?2x4?2x

5?x9?x8?21??x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9?0原最优解x?(0,0,0,12,10,0,52,0)T是该问题的一个可行解。 任取B?(a5,a7,a4)为基，

?C?1?C???210?20??100??11?32?BBA?????10?12????1211??11321?????8?20?10?20?2100??1222211??=??3?2?1100?10?10c9?11?

所以c9?11时，B不是最优基，x9可取非0值，从而安排生产F有利。

c9?12

0?c9?

?1??1p9?Ba9??11?3??1?1?检验数为：

??1??1??????2??2???32? ????2???1???12?CBB?1A?C???8?20?10?20?210001? x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 f? -3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 1 -220 10 x5 1 2 1 0 1 1 0 0 1 x7 1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 3/2 5/2 x4 -1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 -1/2 1/2 变为 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 f? ?10431525 ? ? 0 0 ? ? -9 0 ?220 33333328125 0 1 ? 1 0 3333312222 ? ? 0 0 -1 1 3333325 35 34 3x5 x7 x4 ?14121 ? ? 1 0 ? 0 0 33333Tx??0004325300053?

即每万件F可得利润12万元时，应生产D为43万件，E为253万件，F为53万件。 (5) 新增约束条件3x1?2x2?x3?2x4?x5?10

标准形minf???f??8x1?20x2?10x3?20x4?21x5

?x5?x6?x1?2x2?x3??x3?3x4?2x5?x7?x1?s.t.?x1?2x2?2x3?2x4?2x5?3x?2x?x?2x?x?2345?1??x1,??,x9?0?10?24?x8?21(1) ?x9?10将（1）添入原最优基B?(a5,a7,a4)对应的单纯形表