第六章 光的干涉

6.1 在空气中做杨氏双缝干涉实验，缝间距为d = 0.6mm，观察屏至双缝间距为D = 2.5m，今测得第3级明纹与零级明纹对双缝中心的张角为2.724×10-3rad，求入射光波长及相邻明纹间距．

[解答]根据双缝干涉公式sinθ = δ/d，其中sinθ≈θ，d = kλ = 3λ，可得波长为 λ = dsinθ/k = 5.448×10-4(mm) = 544.8(nm)．

再用公式sinθ = λ/d = Δx/D，得相邻明纹的间距为 Δx = λD/d = 2.27(mm)．

[注意]当θ是第一级明纹的张角时，结合干涉图形，用公式sinθ = λ/d = Δx/D很容易记忆和推导条纹间隔公式．

6.2 如图所示，平行单色光垂直照射到某薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，设薄膜厚度为e，n1>n2，n2

由于n1>n2，所以光从薄膜上表面反射时没有半波损失；由于n1>n2，所以光从n (1) 2薄膜下表面反射时会产生半波损失，所以两束光的光程差为

n3 δ = 2n2e +λ0/2，

图6.2

2n2e?n1?/2?位相差为：???2?． ?2??0n1?

6.3用某透明介质盖在双缝干涉装置中的一条缝，此时，屏上零级明纹移至原来的第5条明纹处，若入射光波长为589.3nm，介质折射率n = 1.58，求此透明介质膜的厚度．

[解答]加上介质膜之后，就有附加的光程差δ = (n – 1)e， 当δ = 5λ时，膜的厚度为：e = 5λ/(n – 1) = 5080(nm) = 5.08(μm)．

6.4 为测量在硅表面的保护层SiO2的厚度，可将SiO2的表面磨成劈尖状，如图所示，现用波长λ = 644.0nm的镉灯垂直照射，一共观察到8根明纹，求SiO2的厚度．

λ [解答]由于SiO2的折射率比空气的大，比Si的小，所以半波损失抵消了，光n1=1.00 SiO2 程差为：δ = 2ne． n=1.50 第一条明纹在劈尖的棱上，8根明纹只有7个间隔，所以光程差为：δ = 7λ．

n2=3.42 Si SiO2的厚度为：e = 7λ/2n = 1503(nm) = 1.503(μm)．

图6.4

6.5 折射率为1.50的两块标准平板玻璃间形成一个劈尖，用波长λ = 5004nm

的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．当劈尖内充满n = 1.40的液体时，相邻明纹间距比劈尖内是空气时的间距缩小Δl = 0.1mm，求劈尖角θ应是多少？

[解答]空气的折射率用n0表示，相邻明纹之间的空气的厚度差为

Δe0 = λ/2n0；

明纹之间的距离用ΔL0表示，则：Δe0 = θΔL0， 因此：λ/2n0 = θΔL0．

当劈尖内充满液体时，相邻明纹之间的液体的厚度差为：Δe = λ/2n； 明纹之间的距离用ΔL表示，则：Δe = θΔL， 因此：λ/2n = θΔL．

由题意得Δl = ΔL0 – ΔL，所以劈尖角为

???(n?n0)11= 7.14×10-4(rad)． ?)?2?ln0n2?lnn0?(平面镜 柱面镜 图6.6

6.6 某平凹柱面镜和平面镜之间构成一空气隙，用单色光垂直照射，可得何种形状的的干涉条纹，条纹级次高低的大致分布如何？

[解答]这种情况可得平行的干涉条纹，两边条纹级次低，越往中间条纹级次

越高，空气厚度增加越慢，条纹越来越稀．

6.7设牛顿环实验中平凸透镜和平板玻璃间有一小间隙e0，充以折射率n为1.33的某种透明液体，设平凸透镜曲率半径为R，用波长为λ0的单色光垂直照射，求第k级明纹的半径．

[解答] 第k级明纹的半径用rk表示，则 2

rk = R2 – (R – e)2 = 2eR．

光程差为δ = 2n(e + e0) + λ0/2 = kλ0，

R 1?λ 解得2e?(k?)0?2e0，

λ 2nr 半径为：

e e0 1?0rk?[(k?)?2e0]R． 图6.7

2n

6.8 白光照射到折射率为1.33的肥皂上（肥皂膜置于空气中，若从正面垂直方向观察，皂膜呈黄色（波长λ = 590.5nm），问膜的最小厚度是多少？

[解答]等倾干涉光程差为：δ = 2ndcosγ + δ`，

从下面垂直方向观察时，入射角和折射角都为零，即γ = 0；由于肥皂膜上下两面都是空气，所以附加光程差δ` = λ/2．对于黄色的明条纹，有δ = kλ， 所以膜的厚度为：d?(k?1/2)?．当k = 1时得最小厚度d = 111(nm)．

2n

6.9光源发出波长可继续变化的单色光，垂直射入玻璃板的油膜上（油膜n = 1.30），观察到λ1 = 400nm和λ2 = 560nm的光在反射中消失，中间无其他波长的光消失，求油膜的厚度．

[解答]等倾干涉光程差为;δ = 2ndcosγ + δ`，

其中γ = 0，由于油膜的折射率比空气的大、比玻璃的小，所以附加光程差δ` = 0．

对于暗条纹，有δ = (2k + 1)λ/2， 即 2nd = (2k1 + 1)λ1/2 = (2k2 + 1)λ2/2．

由于λ2 > λ1，所以k2 < k1，又因为两暗纹中间没有其他波长的光消失，因此

k2 = k1 – 1．

光程差方程为两个：2nd/λ1 = k1 + 1/2，2nd/λ2 = k2 + 1/2， 左式减右式得：2nd/λ1 - 2nd/λ2 = 1， 解得：d??1?2= 535.8(nm)．

2n(?2??1)

6.10 牛顿环实验装置和各部分折射率如图所示，试大致画出反射光干涉

条纹的分布． 1.50 1.62 1.62 [解答]右边介质的折射率比上下两种介质的折射率大，垂直入射的光会有1.75 1.50 半波损失，中间出现暗环；左边介质的折射率 图6.10 介于上下两种介质的折射率之间，没有半波损失， 中间出现明环．因此左右两边的明环和暗是交错的， 越往外，条纹级数越高，条纹也越密．

6.11 用迈克尔逊干涉仪可测量长度的微小变化，设入射光波长为534.9nm，等倾干涉条纹中心冒出了1204条条纹，求反射镜移动的微小距离．

[解答]反射镜移动的距离为 Δd = mλ/2 = 3.22×105nm = 0.322(mm)．

6.17 在迈克尔逊干涉仪一支光路中，放入一折射率为n的透明膜片，今测得两束光光程差改变为一个波长λ，求介质膜的厚度．

[解答]因为δ = 2(n – 1)d = λ，所以

d = λ/2(n – 1)．

第七章 光的衍射

7．1 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1

的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有什么关系；

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ [解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是

δ = asinθ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，

当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此

λ1 = 3λ2．

（2）当其他极小重合时，必有k1`λ1 = k2`λ2， 所以 k2` = 3k1`．

7．2 单缝的宽度a = 0.40mm，以波长λ = 589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m．求： （1）第一暗纹距中心的距离； （2）第二明纹的宽度；

（3）如单色光以入射角i = 30o斜射到单缝上，则上述结果有何变动？ [解答]（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是

y??fk`?，(k` = 1,2,3,…)， a当k` = 1时，y1 = fλ/a = 1.4725(mm)．

（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为 Δy = yk`-1 - yk` = fλ/a = 1.4725(mm)． （3）当入射光斜射时，光程差为 δ = asinθ – asinφ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)． 当k` = 1时，可得 θ sinθ1 = sinφ ± λ/a = 0.5015和0.4985，

a cosθ1 = (1 – sin2θ1)1/2

O φ = 0.8652和0.8669．

两条一级暗纹到中心的距离分别为

y1 = ftanθ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)． 当k` = 2时，可得 sinθ2 =asinφ ± λ/a = 0.5029和0.4971，cosθ2 = (1 – sin2θ2)1/2 = 0.8642和0.8677． 两条二级暗纹距中心的距离分别为：y2 = ftanθ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为Δy = y2 – y1 = 2.3(mm)，比原来的条纹加宽了．

7．3 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．

[解答]除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是

???asin???(2k?1)，(k = 1,2,3,…)．

2当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k1 + 1)λ1 = (2k2 + 1)λ2， 解得此单色光的波长为

?2??1

2k1?1= 428.6(nm)．

2k2?1

7．4 以某放电管发出的光垂直照射到一个光栅上，测得波长λ1 = 669nm的谱线的衍射角θ = 30o．如果在同样的θ角处出现波长λ2 = 446nm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小为多少？

[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2，

方程可化为两个：(a + b)sinθ/λ1 = k1和 (a + b)sinθ/λ2 = k2， 解得光栅常数为：a?b?(k2?k1)?2?1．

(?1??2)sin?由于k2/k1 = λ1/λ2 = 3/2，

所以当k1 = 2时，. k2 = 3，因此光栅常数最小值为：a?b??2?1= 2676(nm)．

(?1??2)sin?

7．5 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m，光栅后放一焦距为1m的的凸透镜，现以λ = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：

（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？ （2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？ [解答]（1）光栅常数为：a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)， 由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m，所以透光缝宽为：a =(a + b) – b = 1.0×10-5(m)．

根据单缝衍射公式可得中央明纹的宽度为：Δy0 = 2fλ/a = 100(mm)． （2）由于：(a + b)/a = 2.5 = 5/2，

因此，光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中，因此单缝衍射的中央明纹宽度内有5条衍射主极大明纹，其中一条是中央衍射明纹．

7．6 波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sinθ = 0.2及sinθ = 0.3处，第四级缺级，求：

（1）光栅常数；

（2）光栅上狭缝的宽度；

（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹？ [解答]（1）（2）根据光栅方程得：(a + b)sinθ2 = 2λ； 由缺级条件得(a + b)/a = k/k`，其中k` = 1，k = 4．

解缺级条件得b = 3a，代入光栅方程得狭缝的宽度为：a = λ/2sinθ2 = 1500(nm)． 刻痕的宽度为：b = 3a = 4500(nm)， 光栅常数为：a + b = 6000(nm)．

（3）在光栅方程(a + b)sinθ = kλ中，令sinθ =1，得：k =(a + b)/λ = 10． 由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．

7．7 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41o的方向上看到λ1 = 656.2nm和λ2 = 410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？

[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2， 方程可化为两个

(a + b)sinθ/λ1 = k1

和 (a + b)sinθ/λ2 = k2， 解得光栅常数为;a?b?(k2?k1)?2?1．

(?1??2)sin?3?2?1= 5000(nm)．

(?1??2)sin?由于k2/k1 = λ1/λ2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，

所以当k1 = 5时，. k2 = 8，因此光栅常数最小值为:a?b?其他可能值都是这个值的倍数．

7．8 白光中包含了波长从400nm到760nm之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级