第七章 向量代数与空间解析几何
（一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算
一、判断题
1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量a,b，若a?b.则a=b同向。 ( ) 4． 若二向量a,b满足关系a?b=a+b,则a,b同向。 （ ） 5． 若a?b?a?c,则b?c ( ) 6． 向量a,b满足aa=bb，则a,b同向。 （ ）
7．若a={
ax,ay,az}，则平行于向量a的单位向量为{ax|a|，
ay|a|，az|a|}。（ ）
8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ）
二、填空题
1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M（5，-3，-2）。
4． 设向量a与b有共同的始点，则与a,b共面且平分a与b的夹角的向量为 5． 已知向量a与b方向相反，且|b|?2|a|，则b由a表示为b= 。 6． 设a=4，a与轴l的夹角为
?a，则prjl= 6
7． 已知平行四边形ABCD的两个顶点A（2，-3，-5）、B（-1，3，2）。 以及它的对角线
交点E（4，-1，7），则顶点C的坐标为 ，则顶点D的坐标为 。 8． 设向量a与坐标轴正向的夹角为?、?、?，且已知? =60，?=120。则?=
??9． 设a的方向角为?、?、?，满足cos?=1时，a垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy轴的距离为
222（A）4?(?3)?5 （B）
(?3)2?52
22（C）4?(?3) （D）42?52
2．已知梯形OABC、CB//OA且CB= =
1OA设OA=a，OC=b，则AB 21
（A）
1111a?b （B）a?b （C）b?a （D）b?a
22223．设有非零向量a,b，若a? b，则必有
（A）a?b=a+b （B）a?b=a?b （C）a?b?a?b （D）a?b?a?b
四、试证明以三点A（4，1，9）、B（10，-1，6）、C（2，4，3）为顶点的三角形为等腰直
角三角形。
五、在yoz平面上求与三个已知点A（3，1，2）、B（4，-2，-2）、C（0，5，1）等距离的点D。
六、用向量方法证明：三角形两边中点的连线平行与第三边，且长度为第三边的一半。 七、设A（4，2 ，1）、B（3，0，2），求AB的模、方向余弦及与AB反向的单位向量。 八、已知OA={2，-3，6}，OB={-1，2，-2}。OD为?AOB的平分线，在OD上求一长度为342的向量。
（二）向量的乘积运算
一、判断题
21．(a?b)?a?b （ ）
222????a2．（a?b）=a?b （ ）
3．若a?b=a?c且a?0，则b?c。 （ ） 4．若a?b=1，则a?b=1 （ ）
??????????????25．a?b=a?2a?b?b （ ）
22????6．a?b?b?a （ ） ????????????7．若a、b、c满足a?b?c,b?c?a，则a、b、c两两垂直。 （ ）
??8．设非零向量a,b的方向角分别为?1,?1,?1和?2,?2,?2则
cos(ab）=cos?1cos?2?cos?1cos?2?cos?1cos?2 （ ） 二、填空题
???????1．设(ab)=，a?5,b?8,则a?b= 。
3??????2．若a?13,b?19,a?b?24。则a?b= 。
? 2
??2????3．若(ab)?，且a?1,b?2。则a?b= 。
3??????4．已知a?3,b?26,a?b?72，则a?b= 。
??a?b5．设a?{4,?3,4},b?{2,2,1}，则Prj= 。 ????6．设a?{2,?3,2},b?{?4,6,?4}，则(ab)= 。
????????7．设a,b为不共线向量，则当?= 时。P??a?5b与Q?3a?b共线。
三、选择题
1．设空间三点的坐标分别为M（1，-3，4）、N（-2，1，-1）、P（-3，-1，1）。则?MNP= （A）、? （B）、
3??? （C）、 （D）、 4242．下列结论正确的是 （A）、 aa?a （B）、若a?b?0则必a?0或b?0 （C）、a(b?c)?ab?ac （D）、若a?0，且ab?ac则b?c
2?????????????????????????3．设a?{x,3,2},b?{?1,4,4}.若a//b，则 （A）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=-6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 四、设a?{2,?1,1},b?1{1,3,?1}，求与a、b均垂直的单位向量。
??????????五、设向量a?{2,3,?1}、b?{1,?2,3}、c?{2,1,2},向量d与a,b均垂直，且在向量
??c上的投影是14，求向量d.
六、用向量证明：
当
a1a2a3??时，(a12?a22?a32)(b12?b22?b32)?(a1b1?a2b2?a3b3)2 b1b2b3????七、设AD为?ABC中BC边上的高，记BA?c.BC?a.证明：
S?ABD?????a?ca?c2a2
（三）平面及其方程
一、填空题
１．过点Ｍ（３，０，１）且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程 。 ２．三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点坐标是 。
３．过点（２，－５，３）且平行与ＸＯＺ平面的平面方程是 。 ４．过点Ｍ１（４，０，－２）和Ｍ２（５，１，７）且平行于ＯＸ轴的平面方程是 。 ５．点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 。
６．当l= ,及m= 时，二平面2x+my+3z-5=0与lx-6y-6z+2=0互相平行。
3
二、选择题
１．平面x -2z = 0的位置是 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 ２．下列平面中通过坐标原点的平面是 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 3．已知二平面?１：mx+y-3z+1=0与?２：７x-2y-z=0当m＝ ?１??２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ ４．二平面?１：x + y - 11=0, ?2: 3x +8=0的夹角?＝ 。 （Ａ）、
? （Ｂ）、?／３ （Ｃ）、?／４ （Ｄ）、?／６ 2三、求通过三点（１，１，１）、（－２，－２，２）和（１，－１，２）的平面方程。 四、求通过点Ｐ（２，－１，－１）、Ｑ（１，２，３）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0平面方
程。 五、求通过Ｚ轴且与平面2x+y-5z-7=0的夹角为?／３的平面方程。 六、证明：二平行平面Ａx+By+Cz+D1=0 , Ax+By+Cz+D2=0之间的距离公式： d＝
D2?D1A?B?C222
（四）直线及其方程
一、填空题
１．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线２。．过点Ｐ（２，０，－３）且与直线
x?2z?1?2y?的直线方程为 。 35垂直的平面方程为 。
{x?2y?4z?73x?5y?2z??1３．过点Ｐ（0，2，4）且与二平面x + 2z = 1和y - 3z = 2平行的直线方程是 。 4．当m= 时，直线5．直线
x?1y?2z??与平面mx+3y-5z+1=0平行。 431{x?y?3z?0x?y?z?0与x-y-z+1=0的夹角为 。
6．点Ｐ（２，０，－１）关于直线
{x?y?4z?12?02x?y?2z?3?0的对称点坐标为 。
二、选择题
1．下列直线中平行与XOY坐标面的是 。 （A）
x?1y?2z?3x?1y?1z???? （C）1320014x?y?4?0x?z?4?0?x?1?2t （D）?y?3t
??z?4? （B）
{ 4