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√

√

60

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80

√

9a

a/9

4

4

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（中科大2003）图示为正三角形的无线小单元，AB、AC两边的应力已知，求BC边的应力。画应力圆，并求主应力。

Analysis：

B

τ A a 60° A

τ C Y τBC B τ A ?

设三角形的厚度为1，

σX

BC a 60° A

τ C

600600?Y?0, ??a?a?sin2???a?a?sin2??BC?a?a?0 600300?X?0，???a?a?cos2???a?a?cos2??BC?a?a?0

解得：?BC?3?，?BC?0 主应力：?1?

Y τAB 3?，?3??（?tan600?2?3?）??3? 3120° X

τAC 2008-2009年度工程力学双语（自动化07） 应力状态分析练习 共10页 第4页

综合分析 第一题

(20 points) A circular shaft (d=200 mm) with bending moment M = 96kN?m and torque T= 84kN?m is shown in the figure. Points A and B are the points on the surface of the shaft. Let E=200GPa, ? = 0.25 and ?allow = 160 MPa. (a) find ? and ? on the cross section at A; (b)draw stress element at A （or B）(C) Exam the shaft with 4th （or 3th）strength theory

Z M A M y T y T T x B Solution: （1）（A点）单元体（3分） 每个方向错扣1分 未标应力值扣1分 ?

? ??MyM32M???122.23MPa （5分） IWz?d3??T?16T??53.5MPa （5分） 3IP?d?r4M2?0.75T2??153.36MPa??allow Safe (7 points)Wz

（2）（B点）单元体（3分） 每个方向错扣1分 未标应力值扣1分 ? ? ??MyM32M????122.23MPa （5分） 3IWz?d??T?16T??53.5MPa （5分） IP?d3?r4M2?T2??162.42MPa??allow Unsafe (7 points)Wz 2008-2009年度工程力学双语（自动化07） 应力状态分析练习 共10页 第5页

综合分析 第二题

(25 points) A circular shaft (d=200 mm) with bending moment My and torque Mx is shown in the figure. Points A and B are on the surface of the shaft. From the test we know that the axial normal strain at A and the normal strain along 45? direction with axis at B are ?0 = 6?10-4 and ?45 = 4?10-4 respectively. Let E=200GPa, ? = 0.25 and ?allow = 160 MPa. (a) Draw the stress element at A and B；（b）Find the magnitudes of My and Mx; (c) Exam the shaft with 4th strength theory. z My A My y Mx B B 45 ? x Mx 单元体（3分） 每个方向错扣1分

? or ? ?

???0E?120MPa （2分） M??w?120?106??d332?30??103N?m 45E ?45??1E???2E??E(1??) （6分） ???1???64?106Pa （1分） T??w63t?64?10??d316?32??10N?m （4分） 2 ?.75T2r4?M?0W?163.4MPa??allow Unsafe (5分）

4分）（ 2008-2009年度工程力学双语（自动化07） 应力状态分析练习 共10页 第6页

综合分析 第三题

(15 points) The storage tank shown is made of a material

that has a uniaxial yield stress of 170MPa. If the tank has an outer diameter of 32cm and a wall thickness of 0.28cm, what is the maximum pressure the tank could carry without yielding according to the maximum shear stress (Tresca) yield criterion?

Solution

The critical points are on the outer surface of the tank as shown in the figure. (1pt)

A pD?0 2tpD?????0

4t????// ?/ So

?1????pD (2pts) 2tpD (2pts) ?2?????4t?3?0 (2pts)

According to the maximum shear stress (Tresca) yield criterion,

?1??3??Y (4pts)

2?t0.28pD??Y p?Y?2??170?2.975MPa (2pts) 2tD32

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综合分析 第四题

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综合分析 第五题

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a) 取单元体

在贴应变片处（轴外表面）取一单元体（如图所示），有

M1M132M1 ??31W?d3?d32MM216M2 ??2??31Wt?d3?d16y ?45??45?????45?y τ σ x b) 进行应力状态分析

借助于应力圆进行分析，根据单元体与应力圆的对应关系有

σ? x ασx?σy2σx?σy?σx?σy2cos2α?τxysin2aτ??45???2sin2??τxycos2a

2????45???0???45???2????

c) 应用虎克定律

B(?,??) (?45?,?45?) ??1? EO?A(?,???)

11??1??(?45?????45?)????E2EE1??1????0???2E(??45?,??45?) d) 求解拉力和扭矩 由上面的分析得到方程组

32M1?E?0?

?d316M2EE1??????0? 45??d31??21?? 2008-2009年度工程力学双语（自动化07） 应力状态分析练习 共10页 第10页

最后解得

M1??d3E?0?32=0.278(kN·m)

?d3E1??M2?(?45???0?)=0.214(kN·m)

16(1??)2