第二节 液体运动微分方程式、连续性微分方程式

非粘性液体运动微分方程式

由水静力学知，当微分正六面体受力不平衡时，必然产生加速度，故推导的静止微分平衡方程式变为下列形式：

X??u?x?x?x1?p?ax?x?uxx?uyx?uzx ??x?t?x?y?z由y、z方向亦可例出类似方程。

粘性液体运动微分方程式

对粘性液体来说，作用在微分正六面体的力，除质量力和动水压强外，还应有内摩擦切

应力。下面直接给出在不可压缩条件下，粘性（实际）液体的运动微分方程式，此方程式又称纳维－司托克斯方程。

液体运动连续性微分方程式

如要使方程式封闭，必须补充一个方程式。此方程式由质量守衡定律推出。取一微分正六面体，形心处流速u的投影为ux、uy、uz。设流体为恒定不可压缩（ρ=常数），则在dt时段内流入和流出六面体的液体质量相等。

由此即可推出恒定不可压缩液体的连续性微分方程式。其方程为

?ux?uy?uz???0 ?x?y?z第三节 液体运动的分类

恒定流与非恒定流

恒定流与非恒定流的区别，在于运动要素的变化是否与时间有关。

恒定流：运动要素均与时间无关，仅为坐标的函数。即公式中对时间求偏导的式子 皆为零。

非恒定流：运动要素变化与时间有关。

一元、二元、三元流动

一元流：运动要素仅随一个坐标或流程Ｓ而变化时，称为一元流。如很长的管道中的水流。

二元流：运动要素为两个坐标的函数时，称为二元流或平面运动。如溢流坝的泄流，沿坝轴线方向运动要素不变。

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三元流：运动要素为三个坐标的函数时，称为三元流或空间运动。

有压流、无压流和射流

有压流：水流过水断面周界全部为固体边界所限定时，称为有压流。如管流。 无压流：水流过水断面部分被固体边界所限，并且具有自由表面，这种情况称为无压流。如渠道水流。

射流：过水断面周界全部与液体（水或空气）相接触时称为射流。如高压水枪。

第四节 液体束状流动基本概念

流线

本章一开始，我们就讲了描述液体运动有两种不同的方法，即拉格朗日法和欧拉法。拉格朗日法是研究个别液体质点在不同时刻的运动情况，欧拉法是考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情况，前者引出了迹线的概念，后者引出了流线的概念。

某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。

按欧拉法，在流速场中任一点，如Ａ点可以引出一条代表各点流速方向的曲线，此线即为流线。流线与迹线不同，它是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。所以流线表示出了瞬间的流动方向，或者说，在流线上某点的切线方向就是该点的流速方向。流线的确定方法如下：

设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1如图，在这个向量上取与A１相距为Δs1的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为Δs2的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为Δs3的点A4，??如此继续，可以得出一条折线A1、A2、A3、A4??，若让所取各点距离Δs趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线。同样，可以作出t1时刻通过其他各点的流线，这样一族流线就反映了t1时刻流场内的流动图象，如果水流为非恒定流，当时刻变为t2时，又可以重新得到在t2时刻的一族新的流线，反映流场流动图象的流线也就改变了。所以对于非恒定流，流线只具有瞬时的意义。

流线具有如下基本特征：

①恒定流时，流线的形状和位置不变，非恒定流时则与此相反。

②恒定流时流线与迹线重合。 解释如下：如图，假定A1、A2、A3、A4近似代表一条流线，在时刻t1有一质点从A1开始沿着u1运动，t2时刻到达A2，但恒定流流线形状、位置均不改变，故质点到达A2点后沿u2方向运动，以此类推，质点沿着A1、A2、A3、A4运动，即沿着流线运动，故流线与迹线重合。

③流线为一条光滑曲线，它不能折曲、分叉或相交，否则有悖于流线的定义。

流管、元流和总流

流管：在流场中任取一微分面积dA，由面积dA的周边各点引出的流线形成一管状曲面，即为流管。

元流：充满流管的一束液流称为元流或微小流束。按照流线不能相交的特性，微小流束内的液体不会穿过流管的管壁向外流动，流管外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流

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动。由于微小流束的横断面积是很小的，因此元流过水断面上各运动要素的分布可看作是均匀的，所以元流是一维流动。

总流：水流的整体或全部元流的汇合称为总流。也就是说，一定大小尺寸的实际水流就是总流。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。

过水断面、湿周、水力半径、流量和平均流速

过水断面：与元流和总流流线垂直正交的断面称为过水断面，分别以dA和A表示其面积，称为过水断面面积。过水断面可为平面或曲面。当流线互相平行时，过水断面为平面，否则就为曲面。

湿周：过水断面周界上具有内摩擦力存在的部分称为湿周。通常仅考虑水流与固体接触的周界长度为湿周，以χ表示。所以，湿周就是在过水断面上水流与固体边界接触的长度。举例：

水力半径：过水断面与湿周之比称为水力半径，以Ｒ表示，即R=A/χ 水力半径的大小表示在过水断面相等条件下，湿周对水流阻力的影响程度。水力半径越大，相同过水断面下，周界对水流阻力越小。

流量及平均流速：

1. 流量指单位时间流过过水断面的液体体积，以Ｑ表示，常用单位为m3/s。

设在总流中任取一元流，其过水断面积为dA，其上各点流速可认为相同，设为u，因过水断面垂直于水流方向，故单位时间内通过过水断面dA的液体体积为：udA=dQ，

dQ即为元流的流量。故总流流量应等于无限多个元流的流量之和，即总流流量为：

Q??dQ??udA

A2. 断面平均流速：计算总流的流量时需要知道断面的流速分布，而一般情况下流速分布都较复杂，难以积分，而且在实际应用中，有时并不一定需要知道流速分布，只要了解断面的平均流速，因此引入过水断面上流速的平均值概念， 其定义为v?流流量为：Q=Av

Q 由此可得总A均匀流、渐变流和急变流

根据流线分布形状沿流程的变化，可以将水流分为均匀流和非均匀流。

均匀流：流线为相互平行的直线，它为水流运动最简单的情况。恒定流是相对于时间的概念，而均匀流是相对于空间的概念。直径不变的直线管道中水流就是典型的均匀流的例子。均匀流的主要特性为：

1. 过水断面为平面，其大小和形状沿流不变。

2.

过水断面上流速分布，同一条流线上各点的流速，以及断面平均流速均沿流不变。

3. 过水断面上动水压强的分布规律与静水压强的分布规律相同。即沿水深为直线分布。这一特性书上有证明。

非均匀流：与均匀流相对应，当水流的流线不是相互平行的直线时，即为非均匀流。对非均匀流来说，可以根据流线间夹角α和曲率半径R的大小，将非均匀流分为渐变流和急变流。

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1. 渐变流：当流线间夹角很小、曲率半径很大时，称为渐变流。

2. 急变流：急变流与渐变流不同，流线间夹角大或者曲率半径小，在宏观上就是水流变化比较剧烈，此时水流位移加速度及其所产生的惯性力不能忽略，因而过水断面上动水压强不按静水压强规律分布。例如书中p.50图3—13。实际水流见图3—14。

第五节 系统、控制体及控制体方程

不要求

第六节 不可压缩、恒定总流连续方程式

液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的连续性方程式就是质量守恒定律的一种特殊形式。现推导如下：

今在恒定流中取出一段微小流束来研究。令过水断面1—1的面积为dA1，过水断面2—2的面积为dA2，相应的流速为u1与u2 如图。由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧壁没有液体流入或流出。有质量流人或流出的，只有两端过水断面。

在dt时段内，从1—1断面流入的液体质量为ρ1u1dA1dt，从断面2—2流出的液体质量为ρ2u2dA2dt。由于液体是不可压缩的连续介质，ρ1=ρ2=ρ，根据质量守恒定律，在dt时段内流入的质量应与流出质量相等，即： ρu1dA1dt=ρu2dA2dt

化简得 u1dA1=u2dA2 或写作 dQ＝u1dA1=u2dA2 上式就是不可压缩液体恒定一元流微小流束的连续性方程。若将上式对总流过水断面积分

?QdQ??u1dA1??u2dA2 得Q=A1v1=A2v2 即：Q1=Q2

A1A2上式就是恒定总流的连续性方程。式中v1及v2分别为总流过水断面A1及A2的断面平均流速。该式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面所通过的流量相等。也就是说，上游断面流进多少流量，下游任何断面也必然流走多少流量。

将连续性方程移项，得 v2/ v1=A1/A2

上式说明，在不可压缩液体恒定总流中，任意两个过水断面，其平均流速的大小与过水断面面积成反比。断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。

连续性方程是水力学上三大基本方程之一，是用以解决水力学问题的重要公式，它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿流程变化的规律性。

对于分叉的管流，以分叉处为结点，则流入结点和自结点流出的流量之和为零。即：

?Q?0 如图所示，

则其连续性方程为：Q2+Q3－Q1=0 即 Q1= Q2+Q3 或 v1A1=v2A2+v3A3

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