第五节 液体相对静止

不作要求

第六节 平面静水总压力

挡水建筑物在计算其稳定和强度及水工闸门启闭力时，需考虑作用在受压面上的静水总压力，该力具有大小、方向和作用点三要素。在计算静水总压力时，又将其分为平面和曲面两种情况。本节介绍平面静水总压力。

1. 平面静水总压力

１. 静水总压力Ｐ的大小和方向

设任意形状的平面A承受水压力，该平面与水平面夹角为α，为方便起见，选A平面的延展面与水面交线OE为x轴，A平面上与OE垂直的OF为y轴，为了计算P的大小，将面积A分为无限多个微小面积dA。对任意dAi，设其形心处水深为hi，则dAi上静水总压力为dPi=γhidAi，由于平面上dPi各皆垂直于作用面，作用面为平面，故各dPi为平行力系，可用积分法求作用面的合力P

P?dPi?又hi=yi sinα，则

???hdAAii

P??sin???yidAi

A此积分∫dA在理论力学中学过，为面积A对OX轴的面积矩。 A y·

由理论力学知，∫dA＝ycA，即面积A对x轴的面积矩等于面积A的形心距x轴的距离A y·与面积的乘积。则

P=γsinαycA=γhcA 或P=pcA

由此可知，静水总压力Ｐ的大小为受压面形心处的静水压强pc与受压面积A之乘积。方向必然与受压平面垂直正交。形心点压强，可理解为整个平面的平均静水压强。这样，P的大小、方向已确定，下面继续推求P的作用点。 ２. 静水总压力的压力中心

静水总压力的作用点，在水力学中称为压力中心。推导如下，由力矩原理知，合力对任一轴的等于各分力对该轴力矩的代数和。按此原理，取合力P对x轴的力矩可求出作用点距x轴的距离，即压力中心的y坐标值yD，对y轴取矩，得压力中心的xD。先对x轴：那么合力P对x轴的力矩应等于各微分面积上的压力γhidAi对x轴的力矩和。

P?yD??(?hidAi)?yi??sin??yi2?dAi

AA 9

yD??sin??yi2?dAiA?sin??yi?dAiA???AAyi2?dAiyi?dAi

由理论力学，分子∫A yi2dAi为平面A对x轴的惯性矩，以Ix表示。根据移轴关系，有Ix=Ixc+yc2A，其中Ixc为面积A对通过其形心且与x轴平行的轴（叫形心轴）的惯性矩。代入上式则

yD?yc?Ixc ycA压力中心处水深hD＝yDsinα

由此可以看出，压力中心Ｄ位于形心Ｃ的下方。这是因压强上小下大分布不均所造成的。 由于工程上受压平面一般均为对称图形，静水压强分布沿纵向对称轴左右对称，故D点必落在纵向对称轴上，无须计算压力中心的xD值。表2－1为常见受压平面图形。

2. 矩形平面静水总压力的图解法

由于矩形平面的形状规则，在水工一最为常见。计算矩形平面上所受的静水总压力较方便的方法是利用静水压强分布图。 １. 压强呈三角形分布情况

当矩形受压平面上端与水面接触时，其静水压强呈三角形分布，推导如下：设矩形宽度为b，长度为L，在矩形平面上任取一水平微分面积dAi=bdLi（微分条），其上静水总压力为dPi=γhidAi，对其进行积分，有

P??A?hidAi???hi?(b?dLi)?b?d?x?b??x

0L式中，Ωx为三角形压强分布图面积，也为单位宽度上的静水总压力。总压力P的作用线通过压强分布图的形心。

由上式可知，静水总压力P为三角形压强分布图面积Ωx与矩形宽度b乘积。即P=1/2·γbHL，压力中心为2L/3处（从上端量起），如矩形受压平面为铅垂时，Ｌ＝Ｈ，则P=γbH2/2及yD=2H/3

２. 压强呈梯形分布情况

当矩形受压平面的压强呈梯形分布时，如图2－13，据上述概念可以求出Ｐ值和压力中心位置：其结论依然成立。即静水总压力大小为压强分布图的面积Ωx与矩形宽度b乘积。P=bΩx＝γ（h1+h2）Lb，其作用线通过面积图的形心。

第七节 二向曲面静水总压力

工程上，受压曲面多为二向曲面，如弧形闸门或圆形容器等，本节仅介绍二向曲面静水总压力的计算方法。

如图为一宽度b的弧形闸门ＡB及其压强分布图。由于曲面上压强互不平行，故不能像平面问题直接积分求解，通常的做法是在曲面上取微分面积dA，在其上作用有dP＝γhdA，

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方向垂直dA面，对dP的投影进行积分，即可求出Ｐ的投影分力Px、Pz，然后合成。推导如下，dP＝γhdA 其x轴方向（即水平方向）和y轴方向（即垂直方向）的投影分量为

dPx＝γhdA·cosθ＝γhdAx dPz＝γhdA·sinθ＝γhdAz dPx、dPz为平行力系，可积分求合力： 水平分力：Px?dPx????hdA

xA由上式可知，此积分意义为垂直矩形受压面Ax的静水总压力，即： Px=γhcAx 或Px=bΩx(Ωx为垂直面Ax上的压强分布图面积) 垂直分力：Pz?dPz????hdAAz???bd?z??b?z 或Pz=γVz

可见在水平方向的分量Ｐx，其计算方法同前面的矩形平面，垂直方向分量Ｐz可用压力体求解。Vz=bΩz称为压力体，它是由二向曲面周边向上作铅垂面，与自由液面或其延长面所围成的体积。Ｐz等于压力体内液体的重量，其作用线通过压力体内液体的重心，对均质液体则通过其形心Ｃ。 Ｐz的计算关键是如何确定压力体的面积Ωz。

关于Ｐz的方向，由图可知，当压力体内无水（或压强与压力体在曲面AB两侧），称为正压力体，Ｐz方向向上；反之，称为负压力体，Ｐz向下。上述结论应与曲面上压强方向相联系来理解。

由Ｐx和Ｐz可以求出二向曲面静水总压力Ｐ的大小和方向：

P?Px2?Pz2 方向??arctanPz Px式中α为P与水平线的夹角。

压力中心Ｄ点位置，可以通过Ｐx、Ｐz矢量合成求出Ｐ的作用线，该线与二向曲面的交点即为压力中心Ｄ。

第三章 水动力学理论基础

《水动力学理论基础》授课学时为6个学时，其中第一、二、三节为2个学时，第四、六、七节为2个学时，第八、九节为2个学时，第五节和第十节不作要求。实验学时为2个学时，实验内容为水流能量转换试验。

基本要求：①理解描述流体运动的两种方法，流线和迹线的概念，掌握恒定流与非恒定流、均匀流与非均匀流、渐变流与急变流的定义及其区别。 ②熟练掌握连续方程，能量方程，动量方程的基本形式，物理意义和应用条件，能单独或联立上述方程分析和解决具体的流体力学问题。

基本概念：⑴拉格朗日法 ⑵欧拉法 ⑶时变加速度 ⑷位移加速度 ⑸恒定流、非恒定流 ⑹一元、二元、三元流 ⑺有压流、无压流、射流 ⑻流线 ⑼迹线 ⑽流管 ⑾元流 ⑿总流 ⒀过水断面 ⒁湿周 水力半径⒂流量 ⒃断面平均流速 ⒄均匀流、非均匀流 ⒅渐变流 ⒆急变流 ⒇位置水头、压力水头、流速水头、测压管水头、总水头、水头损失 (21)水力坡度

重点掌握：⒈欧拉法描述水流运动的思想，流线的概念 ⒉恒定与非恒定流，均匀与非均匀流，有压流与无压流的概念 ⒊熟练掌握恒定总流的三大方程式（质量、能量、动量），

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特别是能量方程式，是水流的能量守恒方程式，要彻底理解方程式中各项的水力学意义，即各种水头的水力学意义。

详细内容：

液体流动时质点间发生位移、液体变形，在克服内摩擦力的同时消耗自身的机械能。动水压强的性质和分布规律也与静水不同，就性质而言，动水压强的大小和方向有关，为简化和实用起见，水力学采用了平均值的概念，即以三个坐标方向压强的平均值作为该点动水压强，因此动水压强又与方向无关而具标量性质。

水动力学理论是研究液体运动要素之间的内在联系及其随时空变化的规律。

第一节 研究液体运动的两种方法

研究方法对液体运动规律的研究，是十分重要的。目前有两种研究方法，即拉格朗日法和欧拉法。

拉格朗日法

拉格朗日法是从研究每个液体质点运动规律出发，而获得液流总体的运动规律，此法为熟知的质点系法。

由拉格朗日法可以得出质点运动的迹线。

欧拉法

欧拉法是研究液体运动空间各点运动要素的变化规律，是通过研究运动要素场的变化来获得液体运动规律。

运动要素是坐标和时间的函数，以流速为例，若令x、y、z为常数，t为变数，则可求得在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况；若令t为常数，x、y、z为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的液体质点的流速的分布情况。加速度应当是坐标和时间的复合函数

ax?

dux?uxdt?uxdx?uxdy?uxdz?ux?x?x?x??????????uxx?uyx?uzxdt?tdt?xdt?ydt?zdt?t?x?y?z等号右侧第一项表示某点流速随时间的变化率，称为时变加速度；其他各项则表示因坐标位置的改变而产生的加速度，称为位移加速度，这表明某点的加速度是时变和位移加速度之和。注意，我们以前对加速度的概念没有位移加速度，因为我们以前研究的是质点或刚体的加速度，是与拉格朗日的概念相同；而我们现在是用欧拉法研究空间点的加速度。

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