≥a1，由此能证明当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1． （Ⅲ）当

时，Sn＜n，令bn=1﹣an（n∈N*），则bn＞bn+1＞0，（n∈N*），由，得

时，

．从而

．

，（n∈N*），由此能证明当

【解答】证明：（Ⅰ）用数学归纳法证明． ①当n=1时，0≤an≤1成立．

②假设当n=k（k∈N*）时，0≤ak≤1， 则当n=k+1时，由①②知，

∴当0≤a1≤1时，0≤an≤1． （Ⅱ）由an+1﹣an=（

）﹣an=（an﹣1）2≥0，知an+1≥an． =（．

）2+∈[

]?[0，1]，

若a1＞1，则an＞1，（n∈N*）， 从而即∴

=an≥a1，

，

=

﹣an=an（an﹣1），

∴当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1． （Ⅲ）当

时，由（Ⅰ），0＜an＜1（n∈N*），故Sn＜n，

令bn=1﹣an（n∈N*），由（Ⅰ）（Ⅱ），bn＞bn+1＞0，（n∈N*）， 由∴∵∴nbn2∵

，即=

，得

．

=（b1﹣b2）+（b2﹣b3）+…+（bn﹣bn+1）=b1﹣bn+1＜b1=， ≥

， ，（n∈N*），

=

，

∴b1+b2+…+bn即n﹣Sn∴当

[（，亦即

）+（

， ．

）+…+（）]=，

时，

【点评】本题考查数列不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归纳法、数列性质、放缩法的合理运用．