【分析】（I）取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD，证明PA⊥平面ABCD，即可证明：PA⊥AB；
（II）求出A到平面PCD的距离，即可求直线AD与平面PCD所成角的大小． 【解答】（I）证明：取CD的中点E，连接AE，PE，则AE⊥CD，PE⊥CD， ∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE． ∵PA?平面PAE，∴CD⊥PA， ∵PA⊥AD，AD∩CD=D， ∴PA⊥平面ABCD， ∵AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB；
（II）解：由题意，AD=PE=设
A
到平面
=
∴h=
．
的距离为
，
h，则由等体积可得
PCD
∴直线AD与平面PCD所成角的正弦值为=，大小为30°．
【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题
的能力，属于中档题．
20．（15分）（2017?温州模拟）设函数f（x）=（I）当x＜0时，f（x）＜1；
（II）对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a．
【分析】（Ⅰ）原不等式等价于xf（x）﹣x＞0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，
（Ⅱ）当0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a，等价于ex﹣1﹣（a+1）x＜0，构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可证明，同理可证﹣ln（1+a）＜x＜0，问题得以证明
【解答】解：（Ⅰ）∵当x＜0时，f（x）＜1，等价于xf（x）＞x，即xf（x）﹣x＞0，
设g（x）=xf（x）﹣x=ex﹣1﹣x
∴g′（x）=ex﹣1＜0，在（﹣∞，0）上恒成立， ∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减， ∴g（x）＞g（0）=1﹣1﹣0=0， ∴xf（x）﹣x＞0恒成立， ∴x＜0时，f（x）＜1，
（Ⅱ）要证明当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a， 即整0＜x＜ln（1+a）时，f（x）﹣1＜a， 即证
＜a+1，
，证明：
即证ex﹣1＜（a+1）x 即证ex﹣1﹣（a+1）x＜0， 令h（x）=ex﹣1﹣（a+1）x，
∴h′（x）=ex﹣（a+1）＜eln（a+1）﹣（a+1）=0， ∴h（x）单调递减， ∴h（x）＜h（0）=0， 同理可证当x＜0时，结论成立
∴对任意a＞0，当0＜|x|＜ln（1+a）时，|f（x）﹣1|＜a
【点评】本题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键，考查学生的计算能力．
21．（15分）（2017?温州模拟）已知直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）有且只有一个公共点P（2，1）． （I）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线l′：y=﹣x+b交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．
【分析】（I）联立直线与椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式为0，再将P的坐标代入椭圆方程，解方程可得m，n，进而得到椭圆方程；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线y=b﹣x和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，韦达定理，再由A，B在直线上，代入直线方程，由垂直的条件，运用向量的数量积为0，化简整理，解方程可得b的值． 【解答】解：（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0）， 可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，
由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n， 又P在椭圆上，可得4m+n=1， 解方程可得m=，n=， 即有椭圆方程为
+
=1；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0， 判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0，
x1+x2=，x1x2=，
，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=
，
y1+y2=2b﹣（x1+x2）=
由PA⊥PB，即为
?
=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）
=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1 =
﹣2?
+
﹣
+5=0，
解得b=3或，代入判别式，成立．
则b=3或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立方程组，运用判别式和韦达定理，同时考查两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
22．（15分）（2017?温州模拟）设数列{an}满足an+1=an2﹣an+1（n∈N*），Sn为{an}的前n项和．证明：对任意n∈N*，
（I）当0≤a1≤1时，0≤an≤1； （II）当a1＞1时，an＞（a1﹣1）a1n﹣1；
（III）当a1=时，n﹣
＜Sn＜n．
【分析】（Ⅰ）用数学归纳法能证明当0≤a1≤1时，0≤an≤1． （Ⅱ）由an+1﹣an=（
2
）﹣an=（an﹣1）≥0，知an+1≥an．从而
=an