第1章 1.2.1 第3课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．由1,4,5，x这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四位数的各位数字之和为288，则x等于( )
A．2 C．6
B．3 D．8
解析： 这四个数字可组成A44＝24个无重复数字的四位数，且每个数字在各数位上都出现24次，
所以(1＋4＋5＋x)×24＝288， 所以x＝2. 答案： A
2．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )
A．1 440种 C．720种
B．960种 D．480种
解析： 5名志愿者先排成一排，有A55种方法，2位老人作为一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有2·4·A55＝960(种)不同的排法．
答案： B
3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A．72 C．108
B．96 D．144
解析： 插空法，先排2、4、6共有A33种方法 ①若1、3、5都不相邻则有A33种方法； ②若1、3相邻则有A22A32种方法． ∴共有A33(A33＋A22A32)＝108种．故选C. 答案： C
4．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( )
A．504种 C．1 008种
B．960种 D．1 108种
1
解析： 若丙排10月1日，共有A55·A22＝240 若丁排10月7日，共有A55·A22＝240 若丙排1日且丁排7日共有A44·A22＝48
若不考虑丙、丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440 ∴共有1 440－240－240＋48＝1 008(种)． 答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________．
解析： 原定5个节目顺序已定，问题转化为在7个位置上选出2个位置安排新增加的2个节目，共有A72＝7×6＝42种方法．
答案： 42
6．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是________．
解析： 把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44
＝24(种)．
答案： 24
三、解答题(每小题10分，共20分) 7．7位同学站成一排，
(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)其中甲不能在排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ (5)甲、乙和丙三名同学必须相邻的排法共有多少种？ (6)甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？ (7)甲、乙两名同学间恰好间隔2人的排法共有多少种？
解析： (1)先考虑甲站在中间有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66＝720种排法；
(2)先考虑甲、乙站在两端的排法有A22种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共A22·A55＝240种排法；
(3)方法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A52种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共A52·A55＝2 400种排法；
方法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A52种，中间5个位置有A55种，共A52·A55＝2 400种排法；
(4)方法一：分两类乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站
2
在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55，
故共有A66＋5×5A55＝3 720种排法；
方法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头和乙站排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，
故共有A77－2A66＋A55＝3 720种排法．
(5)第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种； 第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在“捆绑”成的大元素内的排法有A53种， 所以共A55×A33＝720种．
(6)第一步，先排除甲、乙和丙之外4人，共A44种排法；
第二步，甲、乙和丙三人排在4人排好后产生的5个空档中的任何3个都符合要求，排法有A53种，
所以共有A44·A53＝1 440种．
(7)先排甲、乙，有A22种排法，甲、乙两人中间插入的2人是从其余5人中选，有A52
种排法，将已经排好的4人当作一个大元素与其他3人进行排列，有A44种排法，所以总的排法共有A22·A52·A44＝960种．
8．用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数，由小到大排列． (1)第114个数是多少？ (2)3 796是第几个数？ 解析： (1)分以下几类：
1×××型的四位数有A53＝60(个)； 3×××型的四位数有A53＝60(个)； 39××型的四位数有A42＝12(个)．
因此可得到千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于9的数共60＋60－12＝108(个)，所以第114个数必是39××型的数，从小到大分别是3 916,3 917,3 918,3 961,3 967,3 968，?，故从小到大第114个数是3 968.
(2)由(1)可知千位数字是1与千位数字是3，百位数字小于7的数共有60＋12×2＝84(个)，所以3 796必在37××型的数中，按由小到大的顺序分别是3 716,3 718,3 719,3 761,3 768，3 769,3 781，3 786,3 789,3 791,3 796，?可见3 796在这类数中占第11位，故从小到大算3 796是第95个数．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)明年高考后，我们就要填报志愿啦！下面是高考第一批录取志愿表，假若你已经选中了较为满意的8个学校和5个专业，若表格填满没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，那么你将有多少种不同的填写方法？
学校
专业 3
一 二 1 2 3 4 5 6 解析： 尽管第二排的六个学校志愿是平行志愿，但在录取时还是从前至后，因此仍然存在顺序，再加上第一志愿的一个学校，于是问题相当于从8个学校中，选出7个不同学校的排列问题，每一学校对应着3个专业，由分步乘法计数原理可知，共有A87(A53)7种不同的填报志愿方法．
4