A?DC?标准差 ?A??x?x10????68?6.8件 102??x?x?10????0?0件 1066?2.57件 10612?7.82件 10 ?B???x?x?102???? ?C?标准差系数

2??x?x?10???? V? V? V?A??AxA?0?0 252.57?0.1028 257.82?0.3128 25B??BxB?C??CxC? 显然，A组代表性最强，C组最差，B组居中。

3、某投资者有一笔资金可用于投资，现有两个投资项目可供选择。每个项目的各种可能的回报率和相应主观概率如以下两个表格。试用数学期望和方差的知识比较哪个投资项目更佳。

项目A 项目B 回报率x(%) 4 5 6 7 8 9 10 概率p 0.05 0.10 0.15 0.40 0.15 0.10 0.05

回报率x(%) 5.5 6.5 7.5 8.5

概率p 0.25 0.25 0.25 0.25

解： 计算两个项目的预期回报率，过程如下表：

项目A(期望回报率计算) 回报率x(%) 4 5 概率p 0.05 0.10 x·p 0.200 0.500 6 7 8 9 10 合计 0.15 0.40 0.15 0.10 0.05 1 0.900 2.800 1.200 0.900 0.500 7 项目B(期望回报率计算) 回报率x(%) 5.5 6.5 7.5 8.5 合计 概率p 0.25 0.25 0.25 0.25 1 x·p 1.375 1.625 1.875 2.125 7 由于期望回报率相同，因此还要评价两项目的投资风险，计算过程如下表：

项目A（风险） 回报率x(%) 4 5 6 7 8 9 10 合计

项目B（风险）

回报率x(%) 5.5 6.5 7.5 8.5 合计 (X-μ) 2.25 0.25 0.25 2.25 5 2(X-μ) 9.00 4.00 1.00 0.00 1.00 4.00 9.00 28 2概率p 0.05 0.10 0.15 0.40 0.15 0.10 0.05 1 (X-μ)·p 0.45 0.40 0.15 0.00 0.15 0.40 0.45 2 2概率p 0.25 0.25 0.25 0.25 1 (X-μ)·p 0.56 0.06 0.06 0.56 1.25 2项目A的标准差（风险指标）为：?A?2?1.414

项目B的标准差（风险指标）为：?B?1.25?1.12

可见，在预期平均回报率相同的前提下，项目B的风险较小，较佳。

4、某企业生产一种螺钉，根据以往经验，该螺钉长度（单位：cm）服从正态分布

N?,?2，标准差为σ=0.02，现从一批产品中抽取9枚，测得其长度分别为：2.14，2.13，

2.15，2.10，2.12，2.15，2.14，2.11，2.13，要求：计算螺钉长度均值的置信区间（取置信概率为95%）。 解：（1）这是正态总体、方差已知条件下样本均值的区间估计问题。

??x?2.14?2.13?2.15?2.10?2.12?2.15?2.14?2.11?2.13?2.13（cm）

9因此抽样平均误差为 ?n?0.029?0.0067（cm）

因为??1?0.95?0.05，查标准正态分布表得：Z0.025?1.96 抽样极限误差为 ?x?Z0.025? ?n?1.96?0.0067?0.013（cm）

可得置信区间下限为：2.13－0.013=2.117 （cm） 置信区间上限为：2.13＋0.013=2.143（cm）

即：可95%的置信概率估计该批螺钉长度的置信区间为：（2.117，2.143）cm

5、某企业生产一种螺钉，根据以往经验，该螺钉长度（单位：cm）服从正态分布

N?,?2，现从一批产品中抽取9枚，测得其长度分别为：2.10，2.13，2.10，2.12，2.15，

2.14，2.11，2.13，2.15，要求:计算螺钉长度均值的置信区间（取置信概率为95%）。

解：（1）（2）这是正态总体、方差未知、小样本条件下的区间估计问题。 样本均值为：

??x?2.10?2.13?2.15?2.10?2.12?2.15?2.14?2.11?2.15?2.126（cm）

9样本标准差为：

s???x?x?n?12??2.06?2.123?2??2.13?2.123?2????2.17?2.123?28?0.0194 抽样平均误差为 sn?0.01949?0.0065（cm）

因为??1?0.95?0.05，查t分布表得：t0.025?2.306 抽样极限误差为 ?x?t0.025? Sn?2.306?0.0065?0.015（cm）

可得置信区间下限为：2.126－0.015=2.111 （cm） 置信区间上限为：2.126＋0.015=2.141（cm）

即：可95%的置信概率估计该批螺钉长度的置信区间为：（2.111，2.141）cm

6、某企业对一批电子原件进行耐用性测试，所得结果如下表，求耐用时数均值的置信区间（取置信概率为95%）。

耐用时数/小时 900以下 900~950 950~1000 1000~1050 1050~1100 1100~1150 1150~1200 1200以上 总计 组中值(x)/原件数量小时 (f)/件 875 925 975 1025 1075 1125 1175 1225 —— 1 2 6 35 43 9 3 1 100 xf 875 1850 5850 35875 46225 10125 3525 1225 105550 解：这是方差未知、大样本条件下总体均值估计问题。 样本的平均值为：x?样本标准差为：

?xf?f?105550?1055.5（小时） 100S????x?x??f2f

?875?1055.5?2?1??925?1055.5?2?2???875?1055.5?2?1250?51.91（小时）

抽样平均误差为： Sn? 51.91100?5.191（小时）

因为1???0.95，查表可知Z??1.96

2抽样极限误差为：?x?Z0.025?Sn?1.96?5.191?10.17（小时）

可得置信区间下限为：1055.5－10.17=1045.33（小时） 置信区间上限为：1055.5+10.17=1065.67（小时）

即：可95%的置信概率估计该批螺钉长度的置信区间为：（1045.33，1065.67）小时。 7、某产品规格要求耐用时间达到5000小时以上才算合格，现随机抽取某厂大批量生产的100个产品进行质量检验，发现耐用时间达到此标准的有96个，求产品的合格品率的置信区间（取置信概率为95%）。

解：这是大样本条件下总体比例的区间估计问题。

样本合格品率为p?96?0.96 100合格品率抽样平均误差为

p?1-p?0.96?1-0.96???0.0196 n100