2011级经济学专业（1-2班）

《博弈论》期中考试试卷（开卷）

班级 学号 姓名 成绩

题号 得分 一 二 三 四 五 总得分 答题要求： 1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；

2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分； 3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分； 4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。

一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a、b、c、d、f、g、h之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分） 博弈方2

LR

Ua，bc，d 博弈方1 e，fg ，hD

参考答案：

1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）

2、对于博弈方1，如果a＞e且c＞g，则U是相对于D的严格优势策略；如果a＜e且c＜g，则D是相对于U的严格优势策略；（3分）

3、对于博弈方2，如果b＞d且f＞h则L是相对于R的严格优势策略；如果b＜d且f＜h，则R是相对于L的严格优势策略。（3分）

4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）

1）如果a＞e且c＞g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（U，L） 2）如果a＞e且c＞g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（U，R） 3）如果a＜e且c＜g，b＞d且f＞h，严格优势策略均衡是（D，L） 4）如果a＜e且c＜g，b＜d且f＜h，严格优势策略均衡是（D，R）

（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）

二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分） 参考答案

（1）

①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分） ②该博弈的博弈树是：（2分） （40，40）克扣 老板

b偷懒 不克扣（100，-20）工人 a（-10，110）克扣 老板不偷懒 c不克扣

（50，50）

③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash均衡（16分）

方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash均衡（偷懒，{克扣，克扣}) （40，40）（40，40） （100，-20）（100，-20） （-10，110）（-10，110）

（50，50）（50，50）

（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局

（40，40） （40，40）

（100，-20）（100，-20）

（-10，110）（-10，110）

（50，50）（50，50）

（偷懒，{不克扣，克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局

（40，40）（40，40） （100，-20）（100，-20） （-10，110）（-10，110）

（50，50）（50，50）

（不偷懒，{克扣，克扣})对局（不偷懒，{克扣，不克扣})对局

（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，{不克扣，克扣})对局（40，40）（100，-20）（-10，110）（50，50）（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash均衡。该博弈的Nash均衡是（偷懒，{克扣，克扣})

老板

{克扣，克扣}{克扣，不克扣}{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}

偷懒40，4040，40100，-20100，-20 工人不偷懒-10，11050，50-10，11050，50

④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）

（40，40） 克扣老板

b偷懒∥不克扣（100，-20） 工人 a∥（-10，110）克扣 老板不偷懒 c ∥不克扣（50，50）

（2）

①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分） ②该博弈的支付矩阵是：（2分）

老板

克扣不克扣

40，40100，-20偷懒

工人 50，50不偷懒-10，110

③用划线法可求出该博弈的Nash均衡是（偷懒，克扣） （2分） （本题也可以用反应函数法来做）

老板克扣不克扣q 1-q偷懒P40，40-10，110100，-2050，50工人不偷懒1-P

解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数

U工人=40pq＋100p（1－q）－10（1－p）q＋50（1－p）（1－q）

=40pq＋100p－100pq－10q＋10pq＋50－50p－50q＋50pq =50p－60q＋50

U老板=40pq－20p（1－q）＋110（1－p）q＋50（1－p）（1－q）

=40pq－20p＋20pq＋110q－110pq＋50－50p－50q＋50pq =60q－70p＋50

2）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=[0,1] q=1 p=[0,1] 3）作图

q （1，1）1

01p

4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash均衡→（偷懒，克扣）

三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分） 参考答案

1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）

乙

避让冲过去

0 ，00，9避让

甲 9，0-36，-36冲过去

2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分） 乙 避让冲过去q 1-q

0，00，9 避让P

甲冲过去1-P9，0-36，-36u甲=9（1－p）q－36（1－p）（1－q） =9q－9pq－36＋36p＋36q－36pq =－45pq＋36p＋45q－36