【课堂小结】

1．判定直线与平面平行的方法：

(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行； (2)判定定理：(线线平行?线面平行)，

a?α?

?

b?α??a∥α. a∥b??

2．用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成．

3．证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

2.2.3 直线与平面平行的性质

目标 1.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；

2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想． 【知识梳理】

直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则 ． (1)符号语言描述：a∥α，a?β，β∩α＝b?a∥b.

(2)性质定理的作用：可以作为 平行的判定方法，也提供了一种作 的重要方法． 思考探究

[情境导学] 直线与平面平行的判定定理解决了直线与平面平行的条件问题，反之，在直线与平面平行的条件下，可以得到什么结论呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 直线与平面平行的性质定理

思考1 如果直线和平面平行，那么这条直线与这个平面内的直线的位置关系是怎样的？ 答

思考2 若直线a与平面α平行，那么在平面α内与直线a平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？

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答

思考3 如果直线与平面平行，那么经过直线的平面与平面有哪几种位置关系？ 答

思考4 如果直线a与平面α平行，经过直线a的平面α与平面相交于直线b，那么直线a，b的位置关系如何？ 答

思考5 线面平行性质定理用符号语言如何表述？ 答

例1 如图，a∥α，a?β，α∩β＝b.求证：a∥b.

跟踪训练1 如图，平面α、β、γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b.那么，a与c，b与c有什么关系？为什么？

探究点二 线面平行的性质定理的应用

思考1 如果直线a与平面α平行，那么经过平面内一点P且与直线a平行的直线怎样定位？ 答

思考2 教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？ 答

例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC是什么位置关系？

跟踪训练2 如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

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例3 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面． 已知 如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外． 求证 b∥α.

跟踪训练3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.

，

【随堂练习】

1．已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是( ) A．相交 C．异面 A．0条 C．0条或1条

B．平行 D．相交或异面 B．1条 D．无数条

2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )

3．已知直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a，b的位置关系是：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④不垂直不相交．其中可能成立的有________．

4．如图所示，直线a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.

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【课堂小结】 1．求二面角的步骤

简称为“一作二证三求”． 2．作二面角的三种常用方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．

(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．

(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．

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