【课堂小结】

1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据； 公理2——判定点共面、线共面的依据； 公理3——判定点共线、线共点的依据．

2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．

3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．

4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

目标 1.了解空间中两条直线的位置关系；

2.理解异面直线的概念、画法； 3.理解并掌握公理4及等角定理；

4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角．

【知识梳理】

1．空间中两条直线的位置关系

位置关系 共面 直线 2.公理4

(1)文字表述： 的两条直线互相平行． (2)符号表述： (3)含义：揭示了空间平行线的 ． 3．等角定理

(1)研究对象：在空间中的两个角． (2)条件：两边分别 (3)结论：这两个角 4．异面直线所成的角

前提 定义 范围 特殊情况 思考探究

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共面情况 同一平面内 同一平面内 不同在 公共点个数 公共点 公共点 公共点 相交直线 平行直线 异面直线 两条异面直线a，b 经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b 记异面直线a与b所成的角为θ，则 当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 作法 结论 我们把a′与b′所成的 叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

[情境导学] 在平面中没有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一定成立．例如：在十字路口立交桥中，两条路线AB，CD既不相交，又不平行．今天我们就来研究空间中直线与直线之间的位置关系．

探究点一 空间两直线的位置关系

思考1 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？ 答

思考2 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

答

思考3 如何判断两条直线是异面直线？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？ 答

思考4 为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？ 答

思考5 下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？

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答

探究点二 公理4

思考1 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的． 答

思考2 公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4? 答

例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

跟踪训练1 在例1中，如果再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是 探究点三 等角定理

导引 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？

思考1 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 答

思考2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ 答

探究点四 异面直线所成的角

思考1 在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD－EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？这种刻画应用的是什么数学思想？ 答

思考2 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？ 答

思考3 异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？ 答

思考4 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为什么？ 答

思考5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

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答

例2 如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′. (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？

跟踪训练2 如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．

例3 如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的

大小．

跟踪训练3 如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点． (1)求四棱锥O－ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．

【随堂练习】

1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( ) A．异面 C．相交 A．异面或平行 C．异面

B．平行

D．以上都有可能 B．异面或相交 D．相交、平行或异面

2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )

3．下列四个结论中假命题的个数是( ) ①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；

③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．

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