【课堂小结】

1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为

11S′＝SS′＝0

V柱体＝Sh――→V台体＝h(S＋SS′＋S′)――→V锥体＝Sh.

33

2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝

3VS△BCD

.

这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC

－ABD

＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．

3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算． 5．解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．

习题课 空间几何体

结构图

类型题

题型一 三视图与直观图

三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高． 例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

8π10π

A. B．3π C. D．6π 33

跟踪训练1 一几何体的三视图如图所示． (1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积．

39

答:

题型二 柱体、锥体、台体的表面积和体积

几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用．

例2 圆柱有一个内接长方体AC1，长方体对角线长是102cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100π cm2，求圆柱的体积． 答:

跟踪训练2 正四棱柱的对角线长为3 cm，它的表面积为16 cm2，求它的体积． 答:

题型三 几何体中的有关最值问题

有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二次函数的形式，然后利用二次函数的知识求最值．

例3 如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 答:

跟踪训练3 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度．

40

答:

【课堂小结】

研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决． 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决

第二章 点 直线 平面之间的位置关系

2.1.1 平 面

目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；

2.掌握有关平面的三个公理；

3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系．

【知识梳理】 1．平面的概念

(1)几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的． (2)几何里的平面是 的． 2．平面的画法

(1)通常把水平的平面画成一个 ，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的 倍． (2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用 画出来． 3．点、直线、平面的位置关系的符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面.

文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 A在l外 41

A在α内 A在α外 l在α内 l在α外 l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l 4.平面的基本性质

公理 文字语言 图形语言 符号语言 42