（1）判断△FAG的形状，并说明理由；

（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交

BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC． 解：（1）△FAG等腰三角形； 理由：∵BC为直径， ∴∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AGB＝90°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形； （2）成立； ∵BC为直径， ∴∠BAC＝90° ∴∠ABE+∠AGB＝90° ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∵弧AE＝弧AB， ∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB， ∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形； （3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，

且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°， ∴∠BAD＝∠ABG， ∴AF＝BF， 又∵AF＝FG， ∴F为BG的中点 ∵△BAG为直角三角形， ∴AF＝BF＝BG＝13， ∵DF＝5，

∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8， ∴在Rt△BDF中，BD＝∴在Rt△BDA中，AB＝

＝12， ＝4

，

∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90° ∴△ABC∽△DBA， ∴∴∴BC＝

＝＝，

．

，

，

∴⊙O的直径BC＝

5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．

（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．

①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是 ∠QPB＝2∠AQP ； ②若BE＝BQ＝3，求BP的长；

（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆． ①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径； ②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径． 解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°， ∴BE＝AE＝EQ， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴∠QEB＝2∠EBP，

∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E， ∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA， ∴∠QPB＝2∠AQP， 故答案为：∠QPB＝2∠AQP； ②∵BE＝BQ，

∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ， ∴∠BPQ＝∠BQE， ∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ， ∴∴

， ，

∴BP＝

（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，

∵AP＝3，AB＝6， ∴BP＝3， ∴PQ＝∵OE⊥PQ， ∴QE＝PE＝∵cos∠PQB＝

， ＝

， ＝

＝

，

∴＝

∴OQ＝5， ∴⊙O的半径为5；

②如图2，若⊙O与BC相切于点Q，连接OQ，过点O作OE⊥PQ于E，

∴EQ＝PE＝，

∵BC是⊙O切线， ∴OQ⊥BC，且AB⊥BC， ∴OQ∥AB， ∴∠OQP＝∠BPQ，