2020年数学中考压轴题专项训练:圆的综合(含答案) 下载本文

(1)判断△FAG的形状,并说明理由;

(2)如图②若点E与点A在直径BC的两侧,BE、AC的延长线交于点G,AD的延长线交

BE于点F,其余条件不变(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)在(2)的条件下,若BG=26,DF=5,求⊙O的直径BC. 解:(1)△FAG等腰三角形; 理由:∵BC为直径, ∴∠BAC=90°, ∴∠ABE+∠AGB=90°, ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∵弧AE=弧AB, ∴∠ABE=∠ACD, ∴∠DAC=∠AGB, ∴FA=FG,

∴△FAG是等腰三角形; (2)成立; ∵BC为直径, ∴∠BAC=90° ∴∠ABE+∠AGB=90° ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠ACD+∠DAC=90°, ∵弧AE=弧AB, ∴∠ABE=∠ACD,

∴∠DAC=∠AGB, ∴FA=FG,

∴△FAG是等腰三角形; (3)由(2)知∠DAC=∠AGB,

且∠BAD+∠DAC=90°,∠ABG+∠AGB=90°, ∴∠BAD=∠ABG, ∴AF=BF, 又∵AF=FG, ∴F为BG的中点 ∵△BAG为直角三角形, ∴AF=BF=BG=13, ∵DF=5,

∴AD=AF﹣DF=13﹣5=8, ∴在Rt△BDF中,BD=∴在Rt△BDA中,AB=

=12, =4

∵∠ABC=∠DBA,∠BAC=∠ADB=90° ∴△ABC∽△DBA, ∴∴∴BC=

==,

∴⊙O的直径BC=

5.如图,已知矩形ABCD的边AB=6,BC=4,点P、Q分别是AB、BC边上的动点.

(1)连接AQ、PQ,以PQ为直径的⊙O交AQ于点E.

①若点E恰好是AQ的中点,则∠QPB与∠AQP的数量关系是 ∠QPB=2∠AQP ; ②若BE=BQ=3,求BP的长;

(2)已知AP=3,BQ=1,⊙O是以PQ为弦的圆. ①若圆心O恰好在CB边的延长线上,求⊙O的半径; ②若⊙O与矩形ABCD的一边相切,求⊙O的半径. 解:(1)①∵点E恰好是AQ的中点,∠ABQ=90°, ∴BE=AE=EQ, ∴∠EAB=∠EBA, ∴∠QEB=2∠EBP,

∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E, ∴∠QPB=∠QEB,∠PBE=∠PQA, ∴∠QPB=2∠AQP, 故答案为:∠QPB=2∠AQP; ②∵BE=BQ,

∴∠BEQ=∠BQE,且∠BPQ=∠BEQ, ∴∠BPQ=∠BQE, ∴tan∠BPQ=tan∠BPQ, ∴∴

, ,

∴BP=

(2)①如图1,过点O作OE⊥PQ,

∵AP=3,AB=6, ∴BP=3, ∴PQ=∵OE⊥PQ, ∴QE=PE=∵cos∠PQB=

, =

, =

∴=

∴OQ=5, ∴⊙O的半径为5;

②如图2,若⊙O与BC相切于点Q,连接OQ,过点O作OE⊥PQ于E,

∴EQ=PE=,

∵BC是⊙O切线, ∴OQ⊥BC,且AB⊥BC, ∴OQ∥AB, ∴∠OQP=∠BPQ,