第二部分 专题六 类型一
1．(2018·江西样卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx＋23mx＋n经过P(3，5)，A(0,2)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；
(3)在抛物线上是否存在一个点P，使P点与A，C两点构成等边三角形？如果不存在，说明理由；如果存在，试求出它的坐标．
2
??3m＋6m＋n＝5，解：(1)根据题意得?
?n＝2，?
1??m＝，
解得?3
??n＝2.
1223
∴抛物线的解析式为y＝x＋x＋2.
33
1223
(2)由y＝x＋x＋2，得抛物线的顶点坐标为B(－3，1)．
33依题意，可得C(－3，－1)，且直线l过原点． 设直线l的解析式为y＝kx， 则－3k＝－1，解得k＝∴直线l的解析式为y＝
3
， 33x. 3
(3)存在点P(－23，2)，使得△PAC为等边三角形． 如答图，连接AC，
∵A，B，C三点的坐标为(0,2)，(－3，1)，(－3，－1)， ∴AB＝OA＝2，OC＝2，AC＝23. 3
∴tan∠BAO＝＝3，∠BAO＝60°.
2－1又∵AB∥l ，BC平行于y轴， ∴四边形ABCO是菱形，∠CAO＝30°.
1
故要使△PAC为等边三角形，只要使∠PAC＝60°，PA＝AC. 过A点作x轴的平行线，交抛物线于点P，则有∠PAC＝60°.
∵抛物线的对称轴为x＝－3，A点的坐标为(0,2)，A点与P点关于对称轴对称， ∴PA＝23＝AC.即存在点P(－23，2)使得△PAC为等边三角形．
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)．点
A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B.连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为 (1,4)；抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋4_.
(2)在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点
2
Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随
之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
(3)在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
解：(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0)，D(3,4)，E(0,4)，点A在DE上，∴点A坐标为(1,4)，
设抛物线的解析式为y＝a(x－1)＋4，把C(3,0)代入抛物线的解析式， 可得a(3－1)＋4＝0，解得a＝－1. 故抛物线的解析式为y＝－(x－1)＋4. (2)依题意有OC＝3，OE＝4， ∴CE＝OC＋OE＝3＋4＝5， 当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝∴
3－t315
＝，解得t＝； 2t511
2
2
2
2
2
2
2
PCOC， CQCE当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝∴
2t39＝，解得t＝. 3－t513
CQOC， PCCE159
∴当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形．
1113
2
(3)∵A(1,4)，C(3,0)，
??k＋b＝4，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b，则 ?
??3k＋b＝0，
解得?
?k＝－2，???b＝6，
故直线AC的解析式为y＝－2x＋6.
∵P(1,4－t)，将y＝4－t代入y＝－2x＋6中，得x＝1＋，∴Q点的横坐标为1＋，
22将x＝1＋代入y＝－(x－1)＋4中，得y＝4－.
24∴Q点的纵坐标为4－，
4∴QF＝(4－)－(4－t)＝t－，
44
11111t∴S△ACQ＝S△AFQ＋S△CFQ＝FQ·AG＋FQ·DG＝FQ(AG＋DG)＝FQ·AD＝×2×(t－)＝
22222412
－＋t＝－(t－2)＋1， 44
∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1.
3．(2017·景德镇二模)如图，抛物线C1：y1＝tx－1(t＞0)和抛物线C2：y2＝－4(x－
2
2
ttt2
t2
t2
t2t2
t2
h)2＋1(h≥1)．
(1)两抛物线的顶点A，B的坐标分别为 (0，－1)和 (h,1)；
(2)设抛物线C2的对称轴与抛物线C1交于点N，则t为何值时，A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
(3)设抛物线C1与x轴的左交点为点E，抛物线C2与x轴的右边交点为点F，试问，在第(2)问的前提下，四边形AEBF能否为矩形？若能，求出h值；若不能，说明理由．
解：(1)抛物线C1：y1＝tx－1的顶点坐标是(0，－1)， 抛物线C2：y2＝－4(x－h)＋1的顶点坐标是(h,1)． (2)∵AM∥BN，
∴当AM＝BN时，A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形． ∵当x＝h时，y2＝1，y1＝tx－1＝th－1，
2
2
22
3
∴BN＝|1－(th2－1)|＝|2－th2
|.
①当点B在点N的下方时，4h2
－2＝th2
－2， ∵h2
≠0，∴t＝4；
②当点B在点N的上方时，4h2
－2＝2－th2
， 整理，得t＋4＝4
h2，
∵当t＞0时，t＋4＞4；当h≥1时，4
h2≤4，
∴这样的t值不存在，
∴当点B在点N的下方时，t＝4； 当点B在点N的上方时t值不存在．
(3)能，理由如下：由(2)可知，两个函数二次项系数互为相反数，∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称． ∵点A和点B的纵坐标的绝对值相同， ∴两抛物线的对称中心落在x轴上． ∵四边形AEBF是平行四边形，
∴当∠EAF＝90°时，四边形AFBE是矩形．
∵抛物线C11
1与x轴左交点坐标是(－2，0)，∴OE＝2
. ∵抛物线Cx轴右交点坐标是(h＋12，0)且h≥1，∴OF＝h＋1
2与2. ∵∠FAO＋∠EAO＝90°，∠EAO＋∠AEO＝90°， ∴∠FAO＝∠AEO.
又∵∠FOA＝∠EOA＝90°， ∴△AEO∽△FAO，AOOE＝
OFAO，
∴OA2
＝OE·OF，即1132(h＋2)＝1，解得h＝2＞1，
∴当h＝3
2
时，四边形AEBF为矩形.
4