依题意，记A??c, 0?，C??c?2 ,h???，E?x10, y0?，其中c?2|AB|为双

曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得

?c?cx?2?????2?c?1?， y??h01??2??01??

设双曲线的方程为x2y2a2?b2?1，则离心率e?ca

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e?ca代入双曲线方程得 e2h24?b2?1， ①

e2?24???2????1??????????1?h?b2?1 ②

由①式得

h2e2b2?4?1， ③

将③式代入②式，整理得

e24?4?4???1?2?，

故 ??1?3e2?1

由题设23???34得，23?1?3e2?2?34

解得 7?e?10

所以双曲线的离心率的取值范围为?7 , 10?

分析：考虑AE,AC为焦半径,可用焦半径公式, AE,AC用E,C的横坐标表示，回避h的计算, 达到设而不求的解题策略． 解法二：建系同解法一，AE???a?exE?,AC?a?exC，

c?c?????2?cAE?2?xE?，又，代入整理??1?23，由题设?1??2???1?e?1AC1??23323? ???得，?1?2334e?24解得 7?e?10

7 , 10所以双曲线的离心率的取值范围为?5、判别式法

例3已知双曲线C:y?

x2直线l过点A??1，

222?2,0，斜率为k，当0?k?1时，

?双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与l平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式??0. 由此出发，可设计如下解题思路：

l:y?k(x?2)?0?k?1?

2

解题过程略.

直线l’在l的上方且到直线l的距离为

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，

l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式??0 即所谓“有且仅有一点把直线B到直线l的距离为2”，相当于化归的方程有唯

一解. 据此设计出如下解题思路： 问题 简解：设点x,2k2?x2)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的kx?2?Mx(??2?0?k?1?有唯一关于x的方程k?1距离为： 转化为一元二次方程根的问题 22求解 于是，问题即可转化为如上关于x的方程. 由于0?k?1，所以2?x2?x?kx，从而有 于是关于x的方程???

由0?k?1可知：

方程?k?1?x?2k2(k?1)?2kx?2(k?1)?2k?2?0的二根同正，故

22222????2(k2?1)?2k?kx?0恒成立，于是???等价于

?k

2?1x2?2k2(k2?1)?2kx?????2(k2?1)?2k?2?0.

25. 5?2由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式??0，就可解得 k?点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:x2?2y2?8和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参数，如何将x,y与k联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：

APAQ??来转化.由A、B、P、Q四点共线，PBQBAPAQ??，求动点Q的轨迹所在曲线的PBQB不难得到x?4(x?xB)?2xAxB8?(xA?xB)A，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入

椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到x?f?k?之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于x,y的方程（不含k），则可由y?k(x?4)?1解得k?将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 y?1，直x?4接代入x?f?k?即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 AQ(x—4)+1，消去参数利用点ABAP的方程：Q(x,Qy)满足直线简解：设A?x1,y1?,B(x2，y2),，则由可得：4?x1?x?x1， ??y = k PBQBx2?4x2?x点Q的轨迹方程 解之得：x?4(x1?x2)?2x1x2 （1）

8?(x1?x2)设直线AB的方程为：y?k(x?4)?1，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x的一元二次方程：

?2k∴

2?1x2?4k(1?4k)x?2(1?4k)2?8?0 （2）

?4k(4k?1)?x1?x2?,??2k2?1 ?2?xx?2(1?4k)?8.12?2k2?1?代入（1），化简得：x?4k?3. (3)

k?2与y?k(x?4)?1联立，消去k得：?2x?y?4?(x?4)?0. 在（2）中，由???64k2?64k?24?0，解得 可求得

16?21016?210?x?.992?102?10?k?44，结合（3）

109?x?16?2109故知点Q的轨迹方程为：2x?y?4?0 （16?2）.