2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（文科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1?i)21、 已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=

zA、1+i B、1-i C、-1+i D、-1-i

2、 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图I所示。

若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为

A、3 B、4 C、5 D、6

23、设x?R，则“x>1”是“x>1”的?

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

x?y?14、若变量x、y满足约束条件｛y?x?1 ，则z=2x-y的最小值为

x?1A、-1 B、0 C、1 D、2

5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=

A、

6384 B、 C、 D、 7799x2y26、若双曲线2?2?1的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为

ab5457A、 B、 C、 D、

4333127、若实数a，b满足??ab，则ab的最小值为

abA、2 B、2 C、22 D、4

8、设函数f（x）=ln （1+x）-ln（1-x），则f（x）是

A、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D、偶函数，且在（0,1）上是减函数

9、已知点A,B,C在圆x?y?1上运动，且AB?BC，若点P的坐标为（2，0），则IPA?PB?PCI的最大值为

A、6 B、7 C、8 D、9

10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）

228?88(2?1)224(2?1)2A、 B、 C、 D、

927???

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11、已知集合U=?1,2,3,4?，A=?1,3?,B=?1,3,4?,则A?(eUB)=_____.

12、在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为???sin?，则曲线C的直角坐标方程为_____.

13.若直线3x-4y+5=0与圆x2?y2?r2?r?0?相交于A,B两点，且?AOB?120（O为坐标原点），

o

则r=_____.

14、若函数f（x）=I 2-2 I-b有两个零点，则实数b的取值范围是_____.

15、已知?>0,在函数y=2sin?x与y=2cos?x的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则? =_____.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法

B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各是：从装有2个红球A1,A2和1个白球随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。

（I）用球的标号列出所有可能的摸出结果；

（II）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。

17.（本小题满分12分）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a?btanA。 （I）证明：sinB?cosA； (II)若sinC?sinAcosB?x3，且B为钝角，求A,B,C。 4面是

18.（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABC?A1B1C1的底边长为2的正三角形，E,F分别是BC,CC1的中点。 （I）证明：平面AEF?平面B1BCC1；

（II）若直线AC与平面A11ABB1所成的角为45，求三棱锥

?F?AEC的体积。

19. （本小题满分13分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知

a1?1,a2?2，且an?1?3Sn

?Sn?1?3,(n?N*)，

（I）证明：an?2?3an； （II）求Sn。

y2x220.（本小题满分13分）已知抛物线C1:x?4y的焦点F也是椭圆C2:2?2?1

ab(a?b?0)的一个焦点，C1与C2的公共弦长为26，过点F的直线l与C1相交于A,B两点，与C2????????相交于C,D两点，且AC与BD同向。 （I）求C2的方程；

2（II）若AC?BD，求直线l的斜率。

21.（本小题满分13分）已知a>0，函数f(x)?ae2cosx(x?[0,??)，记xn为f(x)的从小到大的第

n(n?N*)个极值点。

（I）证明：数列{f(xn)}是等比数列；

（II）若对一切n?N*,xn?f(xn)恒成立，求a的取值范围。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）

本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1?i??1.已知

z2，则复数z=（ ） ?1?i（i为虚数单位）

A.1?i B.1?i C.?1?i D.?1?i

2.设A,B是两个集合，则”A?B?A”是“A?B”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.执行如图1所示的程序框图，如果输入n?3，则输出的S?( ) A.

6384 B. C. D. 7799?x?y??1?4.若变量x,y满足约束条件?2x?y?1，则z?3x?y的最小值为

?y?1?（ ）

A.-7 B.-1 C.1 D.2