2011届高三数学精品复习之抛物线及其性质
1．不要把抛物线的标准方程和二次函数的一般形式混为一谈；抛物线的焦点位置取决于哪个变量是一次的及其系数的正负；抛物线标准方程中的“p”表示焦准距。 [举例1] 抛物线y?ax2的准线方程为y?2，则a的值为
11 （B）? （C）8 （D）?8 881112解析：抛物线的标准方程为：x?y，其准线方程为：y= -,∴a=?，故选B。
a4a8（A）
x2y2[举例2]若椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦
ab点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 ： (A)
41725416 (B) (C) (D)175517
[来源:Zxxk.Com]解析：抛物线y2=2bx的焦点为F（
b，0），∵F将线段F1F2分成5∶3的两段， 2∴（
bb25+c）：（c -）=5∶3?c=2b?e=,选D。
5222
[巩固1]点M(5,3)到抛物线y=ax的准线的距离等于6,那么抛物线的方程是( ) (A)y=12x2 (B)y=
1212
x或y=-x (C)y=-36x2 (D)y=12x2或y=-36x2
12362
来源:Zxxk.Com]x2y2??1的右焦点重合，则p的值为 [巩固2] 若抛物线y?2px的焦点与椭圆62A．?2 B．2 C．?4 D．4
2.涉及到抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题常用定义；有时，抛物线上的点到与准线平行的直线的距离需转化为到准线的距离。
x2[举例1]已知A（3，1），抛物线y?上一点P（x,y），则|PA|+y的最小值为 。
4x2解析：抛物线y?的准线为：y= -1，焦点F（0，1），记P在直线y= -1上的射影为Q，
4则y=|PQ|-1=|PF|-1，|PA|+y=|PA|+|PF|-1，问题转化为：求|PA|+|PF|的最小值，易见： |PA|+|PF|≥|AF|=3，当且既当F、P、A共线时等号成立，故：|PA|+y的最小值为2。 [举例2]已知椭圆E的离心率为e，两焦点为F1，F2， y 抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个 |PF1|公共点，若=e，则e的值为：
|PF2|A．
Q M P x F1 O F2 3326 B． C． D． 3223
解析：记抛物线的准线l交x轴于M，P在l上的射影 为Q，则|F1M|=|F1F2|=2c，即l的方程为x= -3c，|PF2|=|PQ|，又
[来源学科网]|PF1||PF1|=e，即=e，∵F1是椭圆的左焦点，∴|PQ|为P到椭圆左准线的距离，即
|PQ||PF2|
a23l为椭圆的左准线，于是有：-3c= -，选A。 ?e=
c3[巩固1] 一动圆圆心在抛物线x2?4y上，过点(0 , 1)且与定直线l相切，则l的方程为（ ）
A.x?1 B.x?11 C.y??1 D.y?? 1616x2y2[巩固2] 椭圆C1：2?2?1,(a?b?0)的左准线为l，左、右焦点分别为F1，F2，抛物线
abC2的准线也为l，焦点为F2，记C1与C2的一个交点为P，则
|F1F2||PF1|= （ ） ?|PF1||PF2|1 B．1 C．2 D．与a,b的取值有关 222
3．过抛物线y=2px的焦点直线l与抛物线y=2px交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，记住并会证明：
A．
2pp2，|AB|=x1?x2?p?(其中?为弦AB的倾角，?=900时的弦y1y2??p，x1x2?2sin?42AB即为抛物线的通经)，证明该结论时为避免讨论斜率不存在情形，可设直线方程为：x=my+p(其2中m为AB的斜率的倒数)；抛物线焦点弦问题常用定义，如：以焦点弦为直径的圆与准线相切。 [举例1]抛物线y2=2px上弦长为a（a≥2p）的弦的中点到y轴的距离的最小值为： 。 解析：抛物线的准线l的方程为：x= -
pp,焦点F（，0），记弦的两端点为A、B，AB的中点22为M，它们在l上的射影分别是A1，B1，M1；于是有：|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|， M到y轴的距离d=|MM1|-=
p1p1p1p=(|AA1|+|BB1|）-=(|AF|+|BF|）-≥|AB|-
2222222a?p,当且仅当A，B，F共线时等号成立。注：过焦点的弦最短是通经，长为2p，当 2[来源:Z§xx§k.Com]a<2p时，A，B，F不可能共线。
[举例2] 给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．设l的斜率为1，则OA与OB夹角为 ；
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，直线l的方程为：x=y+1；将其代入抛物线方程得：y2-4y-4=0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y1+y2=4,y1y2= -4，又x1=
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1211y1, x2=y22,∴x1 x2=(y1 y2)2=1. 44161(y1y2)2[(y1?y2)2?2y1y2] 16OA?OB=(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2= -3.
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22|OA|?|OB|?x12?y12?x2?y2?(x1x2)2?(y1y2)2?=41,∴cos
简化计算，有时还可以避免对直线斜率是否存在的讨论。
[巩固1]AB是抛物线y2?2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是（ ）
A．2
B．1
2C．3
2D．5
2
[巩固2]过抛物线y2?2px(p?0)的焦点的直线x?my?m?0与抛物线交于A、B两点，且⊿OAB（O为坐标原点）的面积为22，则m+m=
4．直线与圆锥曲线的公共点问题一般用方程组的解研究。直线与曲线有几个公共点，方程组就有几组解；直线与圆锥曲线相切体现为：在解方程组的过程中，“消元”后得到的一元二次方程有两个相等的实根，即⊿=0；抛物线的切线还可以用导数研究（视抛物线方程为二次函数）。
2
[举例1]设抛物线y=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是：（ ）
6
4
11，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4] 22解析：Q（-2，0），显然直线l 斜率存在，记为k，则l的方程为：y=k(x+2),代入抛物线方程得：
A．[-[来源学&科&网Z&X&X&K]kx+4(k-2)x+4k=0,①当k=0时，方程有解；②当k≠0时，⊿=64(1-k)≥0即-1≤k<0或0 22222 [来源:学科网] [举例2]如图，设抛物线C:y?x2的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.则△APB的重心G的轨迹方程为 . 2解析：设切点A、B坐标分别为(x0,x0 )和(x1,x12)((x1?x0)， y B A O l P G x ∵y/=2x，∴两切线斜率分别为：2x0和2x1, 2于是：切线AP的方程为：2x0x?y?x0?0; 切线BP的方程为：2x1x?y?x1?0; 解得P点的坐标为：xP?2x0?x1,yP?x0x1 2x0?x1?xP?xP， 32所以△APB的重心G的坐标为 xG?2y0?y1?yPx0?x12?x0x1(x0?x1)2?x0x14xP?ypyG????, 3333∴yp??3yG?4xG，结合xp=xG代入点P所在在直线方程，得到重心G的轨迹方程为： 21x?(?3y?4x2)?2?0,即y?(4x2?x?2). 3注：上述求轨迹的方法称为“代入法”，问题的基本结构是：动点N在已知曲线C0上移动，动点M随之移动（伴随点），求动点M的轨迹方程；一般解法是：寻找被动点M的坐标 (x,y)与主动点N的坐标(x0,y0)之间的关系，并用x,y表示x0,y0，再代入曲线C0的方程即可；此法为“参数法”的一种，借助M、N两点坐标之间的关系及曲线C0的方程消去两个参数x0,y0。 2[巩固1] 已知直线x?y?1?0与抛物线y?ax相切，则a?______. [巩固2]对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+ x0)与曲线C A.恰有一个公共点 B.恰有2个公共点 C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D.没有公共点 [迁移]直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1的两支分别交于A、B两点，则a的取值范围是 。 5.解决直线与二次曲线相交弦的问题，常“设而不求”，即将直线方程与二次曲线方程联立方程组，利用代入消元法转化为关于x(或y)的一元二次方程，将题中所给的几何量用韦达定理、△ 2刻划出来；如：弦长|AB|=1?k2|x1?x2|=1?k(x1?x2)2?4x1x2，（其中k为直线AB 的斜率），或|AB|=1?112=|y?y|1?(y?y)?4y1y2。涉及斜率及其弦中点的121222kk问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标分别代入二次曲线方程作差，此后略作变化（分离 出弦的斜率），即可得到弦的斜率与弦中点的横纵坐标之间的关系。 [举例1] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?x2上异于 坐 标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO?BO（如图所示）．则?AOB得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程为 ； 解析：显然直线AB的斜率存在，记为k，AB的方程记为：y=kx+b,(b≠0), A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入y=x2得： x2-kx-b=0,则有：⊿=k2+4b>0 ①,x1+x2=k ②, x1x2= -b ③，又y1=x12，y2=x22 ∴y1y2=b2；而AO?BO? x1x2+ y1y2=0，得：-b+ b2=0且b≠0，∴b=1，代入①验证，满足； [来源:Z§xx§k.Com]故y1+y2=k(x1+x2)+2=k2+2；设△AOB的重心为G(x,y)，则x= x1?x2k= ④, 33y1?y2k2?222y== ⑤,由④⑤两式消去参数k得：G的轨迹方程为y?3x?。 333注：上述求轨迹的方法称为“参数法”，一般先设法将动点坐标用“参数”表示，再消参数。 y x2y2??1的右焦点F2并垂直于x轴 [举例2]过椭圆 259A F1 O B C x F2 的直线与椭圆的一个交点为B，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差 数列，则弦AC的中垂线在y轴上的截距的范围是 。 解析：对|F2A|+|F2C|=5- 18使用焦半径公式得：54418x1+5-x2=?x1+x2=8.此后，可以设AC的中垂线方程，代入椭圆方程，使用韦达定理；555也可以用“点差”：记AC中点M（4，y0）, 将A、C两点的坐标代入椭圆方程后作差得： ?y1?y2949x?x2，∴kAC???,于是有：AC的中垂线的方程为： ???125y0x1?x225y1?y225y016y0(x?4)，当x=0时：y=-，此即AC的中垂线在y轴上的截距，注意到：M 369y?y0?2991616y01616y0??1，得- 55559259[巩固1]已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最 小值是 . [巩固2]过抛物线y2?2px(p?0)上一定点P（x0,y0）（y0?0）作两条直线分别交抛物线于A（x1,y1），B（x2,y2），若PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，则 答案 1、[巩固1] B，[巩固2]D；2、[巩固1]C，[巩固2]C，3、[巩固1]C，[巩固2]2；4、[巩固1] 科.网]y1?y2= 。 y0[来源学。科。网] [来源:Z。xx。k.Com][来源:学. 1，[巩固2]D，[迁移]（-3，3）；5、[巩固1]32，[巩固2]“点差”得：4kPA?y1?y02p2p?(x1?x0)，kPB?(x2?x0)，由PA，PB倾斜角互补知 x1?x0y1?y0y2?y0y1?y22p2p故????2 y?y??2y?120y1?y0y2?y0y0kPA??kPB即